%Test: Sayılar Test III
\begin{questions}
\question

$a$, $b$, $c$ sırasıyla ardışık üç tek sayıdır.
$(a-c)^2+(c-b)^2$ kaçtır.

\begin{oneparchoices}
\choice $8$
\choice $12$
\choice $16$
\CorrectChoice $20$
\choice $24$
\end{oneparchoices

Çözüm


$a$, $b$, $c$ ardışık tek sayı olduklarına göre,
$a$, $a+2$ , $a+4$ olarak yazabiliriz sayıları.

\begin{align*}
(a-c)^2+(c-b)^2&=(a-(a+4))^2+(a+4-(a+2))^2\\
&=(-4)^2+2^2\\
&=16+4\\
&=20
\end{align*}

\question
$a$, $b$ tam sayıdır.
$a^2-b^2=23$
eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ ikilisi vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $1$
\choice $2$
\choice $3$
\CorrectChoice $4$
\choice $6$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=23$
$23$ asal sayı olduğundan.
$23$'ün çarpanları sadece $23$ ve $1$'dir.
\[
\left .
\begin{array}{ll}
a-b&=1\\
a+b&=23 \\
\end{array}
\right \} \Rightarrow a=12, \quad b=11 ; (12,11)
\]

\[
\left .
\begin{array}{ll}
a-b&=23\\
a+b&=1 \\
\end{array}
\right \} \Rightarrow a=12, \quad b=-11 ; (12,-11)
\]

\[
\left .
\begin{array}{ll}
a-b&=-1\\
a+b&=-23 \\
\end{array}
\right \} \Rightarrow a=-12, \quad b=-11 ; (-12,-11)
\]

\[
\left .
\begin{array}{ll}
a-b&=-23\\
a+b&=-1 \\
\end{array}
\right \} \Rightarrow a=-12, \quad b=11 ; (-12,11)
\]

Verilen eşitliği sağlayan $4$ tane ikili vardır.

\question
$x$, $y$, $z$ tamsayılar ve
\begin{align*}
x\cdot y&=15\\
y\cdot z&=65
\end{align*}
olduğuna göre, $x+y+z$ toplamı en az kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $-21$
\choice $-40$
\choice $-45$
\choice $-60$
\CorrectChoice $-81$
\end{oneparchoices}

Çözüm


En az olmaları için bir kere negatif olmaları gerekir.
$65=-1\cdot (-65)$'tür. Zaten iki tane tam sayı çarpanı var,
$x\cdot y=-15\cdot (-1)$'tir

Toplamları $-1-15-65=-81$

Buradan

\question
$340$'tan büyük ve rakamları ve kendileri birbirinden farklı
$4$ tam sayının toplamı $1500$ olduğuna göre, en büyük sayı
en çok kaç olabilir?

\begin{oneparchoices}
\choice $470$
\choice $471$
\CorrectChoice $472$
\choice $475$
\choice $476$
\end{oneparchoices}

Çözüm


En büyük sayının en büyük olması için, diğerlerini en
küçük seçmeliyiz.

$340$'tan büyük rakamları ve kendileri birbirinden farklı
sayılar $341$, $342$ , $345$'tir.

$1500-341-342-345=472$

\question
Bir pozitif tamsayının birler basamağındaki rakam
$4$ onlar basamağındaki rakam $5$ artırılır ve
binler basamağı $2$ azaltılırsa sayıda nasıl bir değişim olur.

\begin{oneparchoices}
\choice $1946$ artar
\CorrectChoice $1946$ artar
\choice $46$ artar
\choice $46$ azalır
\choice $1954$ azalır
\end{oneparchoices}

Çözüm


Binler basamağı $-2000$
onlar basamağı $+50$
birler basamağı $+4$

$50+4-2000=-1946$ değişim olur, yani $1946 azalır.$

\question
$a,b \epsilon \mathbb{Z^{+}}$
olmak üzere,
$2a+3y=24$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$
ikilisi vardır?

\begin{oneparchoices}
\choice $2$ artar
\choice $3$ artar
\CorrectChoice $4$ artar
\choice $5$ artar
\choice $6$ artar
\end{oneparchoices}

Çözüm

\[

\begin{array}{ll}
2a+3b=24 &\rightarrow 3b=24-2a\\
& \rightarrow b=8-\frac{2a}{3} \\
\end{array}

\begin{array}{ll}
a=3 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 3}{3} \rightarrow b=6, (3,6)\\
a=6 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 6}{3} \rightarrow b=4, (6,4)\\
a=9 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 9}{3} \rightarrow b=2, (9,2)\\
a=12 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 12}{3} \rightarrow b=0, (12,0)\\
\end{array}

\]

Toplam $4$ tane ikili vardır.

\question
$a$, $b$, $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere.

$(2a+b+c)(a+2b-c)=23$ ise,
$a+b$ nedir?
\begin{oneparchoices}
\choice $11$
\choice $10$
\choice $9$
\CorrectChoice $8$
\choice $7$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$23$ asal sayı olduğu için
$(2a+b+c)(a+2b-c)=23 \cdot 1$

\begin{align*}
2a+b+c&=23\\
\underline{+ \quad a+2b-c&=1}\\
3(a+b)&=24 \rightarrow a+b=8
\end{align*}

\question
$5a^4-12$ tek sayı olduğuna göre, şıklardan hangisi
çift sayıdır?
\begin{oneparchoices}
\choice $a^3-a+7$
\choice $a^5+(a+1)^3$
\choice $a^2+4a+2$
\choice $ (a-1)^2+a^2-5$
\CorrectChoice $(a-3)^2\cdot 3a$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$5a^4-12$ tek sayı ise, $12$ çift olduğundan
$5a^4$ tek sayıdır. Bu durumda $a$ da tek sayıdır.

Şıklarda $(a-3)^2\cdot 3a$ var.
$a$ tek ise $(a-3)$ de tektir, karesi de tektir, $3a$'da tektir,
iki tek sayının çarpımı da tektir.

\question
Ardışık $10$ tane tek sayının toplamı $20$'dir.
Buna göre en büyük sayıdan en küçük sayıyı çıkardığımızda
kaç elde ederiz?
\begin{oneparchoices}
\choice $8$
\choice $12$
\CorrectChoice $18$
\choice $20$
\choice $22$
\end{oneparchoices}

Çözüm

Birinci sayıya $a$ diyelim.
Sayılar
\begin{align}
a+(a+2)+(a+4) \dots + (a+18) \\
&=10a+2(1+2+\dots +9)\\
&=10a+2\cdot \frac{9\cdot 10}{2}&=20\\
&\rightarrow 10a+90&=20\\
a&=-7
\end{align}
En büyük sayı ise $-7+18=11$'dir.

11-(-7)=18

\question
$-23-22- \dots 0+1+2\dots 25 $ işleminin sonucu kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $50$
\CorrectChoice $49$
\choice $48$
\choice $47$
\choice $46$
\end{oneparchoices}

Çözüm


Burada pozitif ve negatif sayılar birbirini götürür.
$-23+23-22+22 \dots -1+1$ gibi. Bu toplam $0$'dır.
Kalan sayılar $24+25=49$ olur.

\question
$4$ ile bölündüğünde $3$ kalanını veren $2$ basamaklı
pozitif tamsayıların toplamı kaçtır?

\begin{oneparchoices}
\choice $1250$
\choice $1255$
\CorrectChoice $1265$
\choice $1270$
\choice $1275$
\end{oneparchoices}

Çözüm

Bu sayılar
$11+15+19+23 \dots +99$'dur.
Bunların toplamı

\begin{align*}
&11+15+19+23 \dots +99
&4\cdot 2+3)(4\cdot 3+3)\dots+ (4\cdot 24+3)\\
&=4(2+3+\dots 24)+23\cdot 3)\\
&=4\cdot 299+69=1265
\end{align*}

\question
$48\cdot 6^n$ sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı $40$ olduğuna göre, $n$ kaçtır?

\begin{oneparchoices}
\choice $1$
\choice $2$
\CorrectChoice $3$
\choice $4$
\choice $5$
\end{oneparchoices}

Çözüm


Bir sayının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısını bulmak için
asal çarpanlarının üslerine bir ekleyip birbirleriyle çarparız.
\begin{align*}

6^n&=2^4 \cdot 3 \cdot 2^n\cdot 3^n\\
&=2^{4+n}\cdot 3^{n+1}
\end{align*}

Üsler, $4+n$ ve $n+1$, bunlara $1$ ekleyip birbirleriyle
çarpınca $40$ etmesi gerekir.
\begin{align*}
(4+n+1)(n+1+1)&=40\\
(5+n)(2+n)&=40
\end{align*}
Buradan $n=3$ çıkar.

\question
$84$ kilo buğday, $24$ kilo pirinç ve
$36$ kilo şeker eşit ağırlıkta torbalara konulmak isteniyor.
Birbirine karıştırılmamak şartıyla en az kaç torba gerekir?
\begin{oneparchoices}
\choice $ 18$
\choice $16$
\CorrectChoice $12$
\choice $10$
\choice $8$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$OBEB(84,36,24)=12$
$84:12=7$
$36:12=3$
$24:12=2$

Toplam $7+3+2=12$ torba gerekir.

\question
$A=9!+10!$
$B=8!+9!+10!$
olduğuna göre, $EKOK(A;(B:11))$ nedir?

\begin{oneparchoices}
\choice $10!\cdot 10$
\choice $8!\cdot 10$
\choice $9!\cdot 11$
\choice $11!\cdot 10$
\CorrectChoice $11!$
\end{oneparchoices}

Çözüm

$A=9!+10!=9!(1+10)=9!\cdot 11$
$B=8!+9!+10!=8!(1+9+9\cdot 10)=8!\cdot 100$
$EKOK(A;(B:11))=EKOK(9!\cdot 11;(8!\cdot 100:10))$
$=EKOK (9!\cdot 11 , 8!\cdot 10)=9!\cdot 10\cdot 11=11!$

\question
$a,b,c$ pozitif tamsayılardır.
\begin{align*}
a\cdot b^3=1200\\
a&=15c
\end{align*}
olduğuna göre, $a+b+c$ toplamı en az kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $154$
\choice $158$
\CorrectChoice $162$
\choice $164$
\choice $166$
\end{oneparchoices}

Çözüm


\begin{align*}
a\cdot b^3&=1200=2^4\cdot 3\cdot 5^2\\
a&=150, b=2\\
a&=15c \rightarrow 150 =15c \rightarrow c=10
\end{align*}
$a+b+c=150+10+2=162$

\question
$a,b,c$ iki basamaklı birbirinden farklı
üç tamsayı.
$a-b-c=25$ ise,
$a+b+c$'nin alabileceği en büyük değer nedir?
\begin{oneparchoices}
\choice $154$
\choice $169$
\CorrectChoice $173$
\choice $178$
\choice $188$
\end{oneparchoices}

Çözüm


Toplamın en büyük olabilmesi için $a=99$ alırız.
$99-b-c=25 \rightarrow b+c=74$
$a+b+c=99+74=173$

\question
Aşağıdakilerden kaçı tek sayıdır?
$I. \quad 7^5 \cdot 6^7$
$II. \quad 17!+4^2$
$III. \quad 5^20+9^6\cdot 8^5$
$IV. \quad 30!-29!$
$VI. \quad (15!-1)\cdot 7^4$

\begin{oneparchoices}
\choice $1$
\CorrectChoice $2$
\choice $3$
\choice $4$
\choice $5$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$I. \quad 7^5 \cdot 6^7$ çifttir, $7^5$ tektir,
$6^7$ çifttir, tek çarpı çift, çifttir.

$II. \quad 17!+4^2$ $17!$ çifttir, $4^2$ çift,
çift artı çift, çifttir.

$III. \quad 5^20+9^6\cdot 8^5$ $5^20$ tek,
$9^6 \cdot 8^5$ çift, tek artı çift, tektir.

$IV. \quad 30!-29!$ $30!$ çift, $29!$ çift,
çift eksi çift, çifttir.

$VI. \quad (15!-1)\cdot 7^4$
$15!-1$ tektir. $7^4$ tektir, tek çarpı tek , tektir.

İfadelerden $2$ tanesi tektir.

\question
$5\cdot 7!+8\cdot 6!$ ifadesinin
bölünebileceği en büyük asal sayı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $13$
\choice $23$
\choice $37$
\CorrectChoice $43$
\choice $47$
\end{oneparchoices}

Çözüm


\begin{align*}
5\cdot 7!+8\cdot 6!&=6!(5 \cdot 7)+8\cdot 6!\\
&=6!\cdot 35+8\cdot 6!\\
&=6!\cdot 43

\end{align*}

İfadenin bölünebildiği en büyük asal sayı $43$'tür

\question
$60^x$ sayısının $36$ tane pozitif tek sayı
böleni olduğuna göre, $x$ kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $1$
\choice $2$
\choice $3$
\choice $4$
\CorrectChoice $5$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$60^x=2^{2x}\cdot 3^x\cdot 5^x$
tek sayı bölenler için $3^x\cdot 5^x$ çarpanlarına bakılır.
$(x+1)(x+1)=36 \rightarrow x=5$

\question
$x$ ve $y$ tamsayılardır.
\begin{align*}
-4 &\leq x \leq 6 \\
-2 &\leq x \leq 5 \\
\end{align*}
olduğuna göre, $2x-3y$'nin alabileceği en büyük değer nedir?
\begin{oneparchoices}
\choice $11$
\choice $15$
\CorrectChoice $18$
\choice $20$
\choice $23$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$x$'in en büyük, $y$'nin en küçük değeri için
$2x-3y$ en büyük olur.

$2x-3y=2\cdot 6-3(-2)=12+6=18$

\question
$n>4$ olmak üzere,
$0!+1!+2!+\dots +n!+(n+1)!$ toplamının
$24$ ile bölümünden kalan kaçtır?

\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $10$
\choice $9$
\choice $8$
\choice $6$
\choice $3$
\end{oneparchoices}

Çözüm


$4!=24$ olduğu için $4!$ ve daha büyük sayıların
$24$ ile bölümünden kalan $0$'dır.

Daha öncekiler
$0!+1!+2!+3!=1+1+2+6=10$
Kalan $10$'dur.

\question
$a$ bir tamsayı olmak üzere,
$x=\frac{12-a}{a}$ ifadesinde $x$'i tamsayı
yapan kaç farklı $a$ değeri vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $6$
\CorrectChoice $5$
\choice $4$
\choice $3$
\choice $2$
\end{oneparchoices}

Çözüm


\begin{align*}
x&=\frac{12-a}{a}\\
&=\frac{12}{a}-1
\end{align*}
$x$'i pozitif tamsayı yapan değerler $1,2,3,4,6$'dır.
$5$ farklı değer vardır.

\end{questions}