%Test: Sayılar Test III \begin{questions} \question $a$, $b$, $c$ sırasıyla ardışık üç tek sayıdır. $(a-c)^2+(c-b)^2$ kaçtır. begin{oneparchoices} \choice $8$ \choice $12$ \choice $16$ \CorrectChoice $20$ \choice $24$ \end{oneparchoices [solution] $a$, $b$, $c$ ardışık tek sayı olduklarına göre, $a$, $a+2$ , $a+4$ olarak yazabiliriz sayıları. \begin{align*} (a-c)^2+(c-b)^2&=(a-(a+4))^2+(a+4-(a+2))^2\\ &=(-4)^2+2^2\\ &=16+4\\ &=20 \end{align*} [/solution] \question $a$, $b$ tam sayıdır. $a^2-b^2=23$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ ikilisi vardır? \begin{oneparchoices} \choice $1$ \choice $2$ \choice $3$ \CorrectChoice $4$ \choice $6$ \end{oneparchoices} [solution] $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=23$ $23$ asal sayı olduğundan. $23$'ün çarpanları sadece $23$ ve $1$'dir. \[ \left . \begin{array}{ll} a-b&=1\\ a+b&=23 \\ \end{array} \right \} \Rightarrow a=12, \quad b=11 ; (12,11) \] \[ \left . \begin{array}{ll} a-b&=23\\ a+b&=1 \\ \end{array} \right \} \Rightarrow a=12, \quad b=-11 ; (12,-11) \] \[ \left . \begin{array}{ll} a-b&=-1\\ a+b&=-23 \\ \end{array} \right \} \Rightarrow a=-12, \quad b=-11 ; (-12,-11) \] \[ \left . \begin{array}{ll} a-b&=-23\\ a+b&=-1 \\ \end{array} \right \} \Rightarrow a=-12, \quad b=11 ; (-12,11) \] Verilen eşitliği sağlayan $4$ tane ikili vardır. [/solution] \question $x$, $y$, $z$ tamsayılar ve \begin{align*} x\cdot y&=15\\ y\cdot z&=65 \end{align*} olduğuna göre, $x+y+z$ toplamı en az kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $-21$ \choice $-40$ \choice $-45$ \choice $-60$ \CorrectChoice $-81$ \end{oneparchoices} [solution] En az olmaları için bir kere negatif olmaları gerekir. $65=-1\cdot (-65)$'tür. Zaten iki tane tam sayı çarpanı var, $x\cdot y=-15\cdot (-1)$'tir Toplamları $-1-15-65=-81$ Buradan [/solution] \question $340$'tan büyük ve rakamları ve kendileri birbirinden farklı $4$ tam sayının toplamı $1500$ olduğuna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir? \begin{oneparchoices} \choice $470$ \choice $471$ \CorrectChoice $472$ \choice $475$ \choice $476$ \end{oneparchoices} [solution] En büyük sayının en büyük olması için, diğerlerini en küçük seçmeliyiz. $340$'tan büyük rakamları ve kendileri birbirinden farklı sayılar $341$, $342$ , $345$'tir. $1500-341-342-345=472$ [/solution] \question Bir pozitif tamsayının birler basamağındaki rakam $4$ onlar basamağındaki rakam $5$ artırılır ve binler basamağı $2$ azaltılırsa sayıda nasıl bir değişim olur. \begin{oneparchoices} \choice $1946$ artar \CorrectChoice $1946$ artar \choice $46$ artar \choice $46$ azalır \choice $1954$ azalır \end{oneparchoices} [solution] Binler basamağı $-2000$ onlar basamağı $+50$ birler basamağı $+4$ $50+4-2000=-1946$ değişim olur, yani $1946 azalır.$ [/solution] \question $a,b \epsilon \mathbb{Z^{+}}$ olmak üzere, $2a+3y=24$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ ikilisi vardır? \begin{oneparchoices} \choice $2$ artar \choice $3$ artar \CorrectChoice $4$ artar \choice $5$ artar \choice $6$ artar \end{oneparchoices} [solution] \[ \begin{array}{ll} 2a+3b=24 &\rightarrow 3b=24-2a\\ & \rightarrow b=8-\frac{2a}{3} \\ \end{array} \begin{array}{ll} a=3 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 3}{3} \rightarrow b=6, (3,6)\\ a=6 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 6}{3} \rightarrow b=4, (6,4)\\ a=9 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 9}{3} \rightarrow b=2, (9,2)\\ a=12 &\rightarrow b=8-\frac{2\cdot 12}{3} \rightarrow b=0, (12,0)\\ \end{array} \] Toplam $4$ tane ikili vardır. [/solution] \question $a$, $b$, $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere. $(2a+b+c)(a+2b-c)=23$ ise, $a+b$ nedir? \begin{oneparchoices} \choice $11$ \choice $10$ \choice $9$ \CorrectChoice $8$ \choice $7$ \end{oneparchoices} [solution] $23$ asal sayı olduğu için $(2a+b+c)(a+2b-c)=23 \cdot 1$ \begin{align*} 2a+b+c&=23\\ \underline{+ \quad a+2b-c&=1}\\ 3(a+b)&=24 \rightarrow a+b=8 \end{align*} [/solution] \question $5a^4-12$ tek sayı olduğuna göre, şıklardan hangisi çift sayıdır? \begin{oneparchoices} \choice $a^3-a+7$ \choice $a^5+(a+1)^3$ \choice $a^2+4a+2$ \choice $ (a-1)^2+a^2-5$ \CorrectChoice $(a-3)^2\cdot 3a$ \end{oneparchoices} [solution] $5a^4-12$ tek sayı ise, $12$ çift olduğundan $5a^4$ tek sayıdır. Bu durumda $a$ da tek sayıdır. Şıklarda $(a-3)^2\cdot 3a$ var. $a$ tek ise $(a-3)$ de tektir, karesi de tektir, $3a$'da tektir, iki tek sayının çarpımı da tektir. [/solution] \question Ardışık $10$ tane tek sayının toplamı $20$'dir. Buna göre en büyük sayıdan en küçük sayıyı çıkardığımızda kaç elde ederiz? \begin{oneparchoices} \choice $8$ \choice $12$ \CorrectChoice $18$ \choice $20$ \choice $22$ \end{oneparchoices} [solution] Birinci sayıya $a$ diyelim. Sayılar \begin{align} a+(a+2)+(a+4) \dots + (a+18) \\ &=10a+2(1+2+\dots +9)\\ &=10a+2\cdot \frac{9\cdot 10}{2}&=20\\ &\rightarrow 10a+90&=20\\ a&=-7 \end{align} En büyük sayı ise $-7+18=11$'dir. 11-(-7)=18 [/solution] \question $-23-22- \dots 0+1+2\dots 25 $ işleminin sonucu kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $50$ \CorrectChoice $49$ \choice $48$ \choice $47$ \choice $46$ \end{oneparchoices} [solution] Burada pozitif ve negatif sayılar birbirini götürür. $-23+23-22+22 \dots -1+1$ gibi. Bu toplam $0$'dır. Kalan sayılar $24+25=49$ olur. [/solution] \question $4$ ile bölündüğünde $3$ kalanını veren $2$ basamaklı pozitif tamsayıların toplamı kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $1250$ \choice $1255$ \CorrectChoice $1265$ \choice $1270$ \choice $1275$ \end{oneparchoices} [solution] Bu sayılar $11+15+19+23 \dots +99$'dur. Bunların toplamı \begin{align*} &11+15+19+23 \dots +99 &4\cdot 2+3)(4\cdot 3+3)\dots+ (4\cdot 24+3)\\ &=4(2+3+\dots 24)+23\cdot 3)\\ &=4\cdot 299+69=1265 \end{align*} [/solution] \question $48\cdot 6^n$ sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı $40$ olduğuna göre, $n$ kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $1$ \choice $2$ \CorrectChoice $3$ \choice $4$ \choice $5$ \end{oneparchoices} [solution] Bir sayının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısını bulmak için asal çarpanlarının üslerine bir ekleyip birbirleriyle çarparız. \begin{align*} 6^n&=2^4 \cdot 3 \cdot 2^n\cdot 3^n\\ &=2^{4+n}\cdot 3^{n+1} \end{align*} Üsler, $4+n$ ve $n+1$, bunlara $1$ ekleyip birbirleriyle çarpınca $40$ etmesi gerekir. \begin{align*} (4+n+1)(n+1+1)&=40\\ (5+n)(2+n)&=40 \end{align*} Buradan $n=3$ çıkar. [/solution] \question $84$ kilo buğday, $24$ kilo pirinç ve $36$ kilo şeker eşit ağırlıkta torbalara konulmak isteniyor. Birbirine karıştırılmamak şartıyla en az kaç torba gerekir? \begin{oneparchoices} \choice $ 18$ \choice $16$ \CorrectChoice $12$ \choice $10$ \choice $8$ \end{oneparchoices} [solution] $OBEB(84,36,24)=12$ $84:12=7$ $36:12=3$ $24:12=2$ Toplam $7+3+2=12$ torba gerekir. [/solution] \question $A=9!+10!$ $B=8!+9!+10!$ olduğuna göre, $EKOK(A;(B:11))$ nedir? \begin{oneparchoices} \choice $10!\cdot 10$ \choice $8!\cdot 10$ \choice $9!\cdot 11$ \choice $11!\cdot 10$ \CorrectChoice $11!$ \end{oneparchoices} [solution] $A=9!+10!=9!(1+10)=9!\cdot 11$ $B=8!+9!+10!=8!(1+9+9\cdot 10)=8!\cdot 100$ $EKOK(A;(B:11))=EKOK(9!\cdot 11;(8!\cdot 100:10))$ $=EKOK (9!\cdot 11 , 8!\cdot 10)=9!\cdot 10\cdot 11=11!$ [/solution] \question $a,b,c$ pozitif tamsayılardır. \begin{align*} a\cdot b^3=1200\\ a&=15c \end{align*} olduğuna göre, $a+b+c$ toplamı en az kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $154$ \choice $158$ \CorrectChoice $162$ \choice $164$ \choice $166$ \end{oneparchoices} [solution] \begin{align*} a\cdot b^3&=1200=2^4\cdot 3\cdot 5^2\\ a&=150, b=2\\ a&=15c \rightarrow 150 =15c \rightarrow c=10 \end{align*} $a+b+c=150+10+2=162$ [/solution] \question $a,b,c$ iki basamaklı birbirinden farklı üç tamsayı. $a-b-c=25$ ise, $a+b+c$'nin alabileceği en büyük değer nedir? \begin{oneparchoices} \choice $154$ \choice $169$ \CorrectChoice $173$ \choice $178$ \choice $188$ \end{oneparchoices} [solution] Toplamın en büyük olabilmesi için $a=99$ alırız. $99-b-c=25 \rightarrow b+c=74$ $a+b+c=99+74=173$ [/solution] \question Aşağıdakilerden kaçı tek sayıdır? $I. \quad 7^5 \cdot 6^7$ $II. \quad 17!+4^2$ $III. \quad 5^20+9^6\cdot 8^5$ $IV. \quad 30!-29!$ $VI. \quad (15!-1)\cdot 7^4$ \begin{oneparchoices} \choice $1$ \CorrectChoice $2$ \choice $3$ \choice $4$ \choice $5$ \end{oneparchoices} [solution] $I. \quad 7^5 \cdot 6^7$ çifttir, $7^5$ tektir, $6^7$ çifttir, tek çarpı çift, çifttir. $II. \quad 17!+4^2$ $17!$ çifttir, $4^2$ çift, çift artı çift, çifttir. $III. \quad 5^20+9^6\cdot 8^5$ $5^20$ tek, $9^6 \cdot 8^5$ çift, tek artı çift, tektir. $IV. \quad 30!-29!$ $30!$ çift, $29!$ çift, çift eksi çift, çifttir. $VI. \quad (15!-1)\cdot 7^4$ $15!-1$ tektir. $7^4$ tektir, tek çarpı tek , tektir. İfadelerden $2$ tanesi tektir. [/solution] \question $5\cdot 7!+8\cdot 6!$ ifadesinin bölünebileceği en büyük asal sayı kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $13$ \choice $23$ \choice $37$ \CorrectChoice $43$ \choice $47$ \end{oneparchoices} [solution] \begin{align*} 5\cdot 7!+8\cdot 6!&=6!(5 \cdot 7)+8\cdot 6!\\ &=6!\cdot 35+8\cdot 6!\\ &=6!\cdot 43 \end{align*} İfadenin bölünebildiği en büyük asal sayı $43$'tür [/solution] \question $60^x$ sayısının $36$ tane pozitif tek sayı böleni olduğuna göre, $x$ kaçtır? \begin{oneparchoices} \choice $1$ \choice $2$ \choice $3$ \choice $4$ \CorrectChoice $5$ \end{oneparchoices} [solution] $60^x=2^{2x}\cdot 3^x\cdot 5^x$ tek sayı bölenler için $3^x\cdot 5^x$ çarpanlarına bakılır. $(x+1)(x+1)=36 \rightarrow x=5$ [/solution] \question $x$ ve $y$ tamsayılardır. \begin{align*} -4 &\leq x \leq 6 \\ -2 &\leq x \leq 5 \\ \end{align*} olduğuna göre, $2x-3y$'nin alabileceği en büyük değer nedir? \begin{oneparchoices} \choice $11$ \choice $15$ \CorrectChoice $18$ \choice $20$ \choice $23$ \end{oneparchoices} [solution] $x$'in en büyük, $y$'nin en küçük değeri için $2x-3y$ en büyük olur. $2x-3y=2\cdot 6-3(-2)=12+6=18$ [/solution] \question $n>4$ olmak üzere, $0!+1!+2!+\dots +n!+(n+1)!$ toplamının $24$ ile bölümünden kalan kaçtır? \begin{oneparchoices} \CorrectChoice $10$ \choice $9$ \choice $8$ \choice $6$ \choice $3$ \end{oneparchoices} [solution] $4!=24$ olduğu için $4!$ ve daha büyük sayıların $24$ ile bölümünden kalan $0$'dır. Daha öncekiler $0!+1!+2!+3!=1+1+2+6=10$ Kalan $10$'dur. [/solution] \question $a$ bir tamsayı olmak üzere, $x=\frac{12-a}{a}$ ifadesinde $x$'i tamsayı yapan kaç farklı $a$ değeri vardır? \begin{oneparchoices} \choice $6$ \CorrectChoice $5$ \choice $4$ \choice $3$ \choice $2$ \end{oneparchoices} [solution] \begin{align*} x&=\frac{12-a}{a}\\ &=\frac{12}{a}-1 \end{align*} $x$'i pozitif tamsayı yapan değerler $1,2,3,4,6$'dır. $5$ farklı değer vardır. [/solution] \end{questions}