Sayı Kümeleri

Kullandığımız sayı kümelerinin tanım ve anlamları bazan karıştırılmakta olduğundan vermekte fayda var: Önce rakam ve sayı kavramlarını netleştirelim.

Rakam

Belli bir niceliği ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.
Sayı kaba bir tanımla:

Sayı

Belli bir niceliğin rakamlarla ifadesidir.
Örneğin $3$ hem bir sayı hem de bir rakamdır. Ancak 13 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.

Örnek

İki doğal sayının toplamı 20 ise çarpımlarının alabileceği en büyük ve en küçük değer nedir?

Çözüm

Sebebini bilmeden de burada deneme yaparak toplamları 20 olan iki sayının çarpımının sayıları birbirine yakın seçtiğimizde arttığını görebiliriz. İki doğal sayı dendiğinden birini 0 seçebiliriz. Bu durumda diğeri 20 dir ve çarpımları 0 olur. Birini 1 seçsek diğeri 19 olur ve çarpım 19 dur. Birini 10 seçsek diğeri de 10 olur ve çarpımları 100 olur. İkisini de aynı seçmememizi gerektirecek bir şart yok. Soru da iki farklı doğal sayı deseydi birini 11 ve birini 9 seçerek çarpımın en büyük değerine ulaşırdık. Bu durumda en küçük değer 0 ve en büyük değer 100 dür.

Örnek

İki doğal sayının çarımı 20 ise toplamlarının alabileceği en küçük ve en büyük değer nedir?

Çözüm

Çarpımı 20 olan doğal sayılar zaten çok sınırlı. Birini 1 seçsek diğeri 20 olur ve toplam 21 dir. Birini 2 seçsek diğeri hızla küçülür ve 10 olur. Demek ki yaklaştıkça toplam küçülecek. Toplamın en küçük değeri için birini 5 ve diğerini 4 seçeriz ve toplam 9 olur.

Teklik Çiftlik

Çarpanları arasında en az bir tane $2$ çarpanı olan sayıya çift sayı denir. Başka bir ifadeyle $2$ ile bir tamsayının çarpımı şeklinde yazılabilen sayılar çifttir. \[ x = 2 k \wedge k \in \mathbb{Z} \] olacak şekilde bir $k$ tamsayısı varsa $x$ bir çift sayıdır. Örneğin $6$ sayısı $2 \cdot 3$ şeklinde yazılabildiği için çifttir. Aynı şekilde $-2 = 2 \cdot -1$ veya $0 = 2 \cdot 0$ şeklinde yazılabildiklerinde çifttirler ($0$ çift sayıdır!). Çift olmayan tamsayılar tektirler. Tek sayılar için ayrı bir tanıma ihtiyaç yok. Ancak bunların da $2k+1$ şeklinde yazılabilecekleri sonucunu çıkarabiliriz. Çoğunlukla teklik çiftlik sorularında deneme yöntemi kullanılır. Ancak teklik ve çifliği buradaki daha soyut halleriyle kavramak sayı denerken bile önemlidir. Örneğin şu soruyu hızlıca cevaplamaya çalışın:
Çift bir sayının ikiye bölümü tek midir çift midir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
Belirsiz. İlk akla gelen sayı $2$ dir. $2$ nin ikiye bölümü de tektir ve buna "tek" cevabı verilebilir. Ancak $6$ nın ikiye bölümü de tektir. Dolayısıyla sorunun cevabı yok. Peki neden? Buradaki tanıma göre çift sayı ancak bir tane $2$ çarpanını garanti ediyor. $2 \cdot k$ şeklinde yazılabilen sayılar çifttir. $k$ için tek şart bir tamsayı olması, tek veya çift olabilir. Örneğin $6$ durumunda bu sayı $2 \cdot 3$ ten $3$ tür. Çift sayıyı ikiye bölünce garanti olan bu $2$ çarpanı yok olur.
Başka bir soru:
$a$ ve $b$ çift sayı olmak üzere $a^b$ tek midir çift midir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
belirsiz. Burada da akla ilk gelen çift sayıları koymamak lazım. Örneğin $b=-2$ olabilir ve birden bire $a^b$ tamsayı olmaktan bile çıkar dolayısıyla teklik çiftlikten bahsedilemez bile.
Yukarıdaki soruyu şöyle sorsak:
$a$ ve $b$ çift doğal sayı olmak üzere $a^b$ tek midir çift midir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
Belirsiz. Burada da hemen akla gelemeyebilecek bir $b$ değeri var, $b=0$
Yukarıdaki soruların da gösterdiği gibi denerken mutlaka aykırı sayıları örneğin negatifleri ya da doğal sayılarla sınırlıysak $0$ ı akla getirmeliyiz.

Örnek

İki çift sayının toplamının çift olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Basit ve gereksiz bir ispat gibi görünebilir. Ancak matematikte ispatın nasıl yapıldığını kavramak için bu örneği kullanabiliriz. Bu sayılar $a$ ve $b$ olsun. $a$ çift olduğundan $k_1$ bir tamsayı olmak üzere $2 \cdot k_1$ şeklinde yazılabilmelidir. Benzer şekilde $b$ için de bir $k_2$ tamsayısı vardır ki $b = 2 k_2$ dir. Tanım gereği bunlar verilidir: \[ a = 2 k_1 \qquad b = 2 k_2 \] Bunların toplamının da $2 \cdot k$ şeklinde yazılabildiğini göstermek durumundayız. \[ a + b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2) \] $k_1 + k_2$ açıkça bir tamsayı olduğundan iki çift sayının toplamının da bir çift sayı olduğunu ispatlamış olduk

Örnek

İki çift sayının çarpımının çift olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Gene yukarıdaki örnekteki gibi $ a = 2k_1$ ve $b = 2k_2$ ise \[ a \cdot b = 2 k_1 \cdot 2 k_2 = 2 (2 k_1 k_2) \] ve parantez içine aldığımız ifade üç tamsayının çarpımı ve sonuç bir tamsayı olduğundan iki çift sayının çarpımı bir çift sayıdır.

Örnek

İki tek sayının toplamının çift olduğunu ispatlayınız

Çözüm

Sayılar $a$ ve $b$ olsun. Tek olduklarından $k_1$ ve $k_2$ bir tamsayı olmak üzere \[ a = 2k_1 + 1 \qquad b = 2k_2 + 1 \] şeklinde yazılabilirler. Toplamları \[ 2k_1 + 1 + 2k_2 + 1 = 2 ( k_1 + k_2 + 1) \] ve parantez içi tamsayı olduğundan sayı $2 \cdot k$ şeklinde yazılmış oldu ve çifttir.
Standart bir örneğe geçelim

Örnek

\[ \frac{a + 2b}{3} = c^2 + 2 \] olduğuna göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
  1. a ve b çifttir
  2. a çift ise c çifttir.
  3. a tek ise c tektir.

Çözüm

İçler dışlar çarpımı yapalım \[ a + 2b = 3c^2 + 6 \] Şimdi sağ tarafı düşünelim. $3c^2$ tek ise $6$ ile toplayınca da tektir. Çift ise gene $6$ ile toplayınca çifttir. $6$ ile toplamak teklik çiftlik değerini değiştirmez. $c^2$ ne ise $3c^2$ de odur. Tek bir sayıyla (3 le) çarpmak teklik çiftliği değiştiremez. Çünkü çift olabilmek için $2$ çarpanı lazım. $c^2$ ne ise $3c^2$ de odur. Gene benzer şekilde $c$ yi kendisiyle çarpmak teklik çiftliği değiştirmez. $c$ tek ise $c^2$ de tektir, çift ise çifttir. Sonuç olarak sağ tarafın teklik çiftliğinin sadece $c$ ye bağlı olduğunu anlamış olduk. $c$ tek ise sağ taraf tektir. Sol tarafta hemen $2b$ ye bakalım. $2$ ile çarpmak sonucu çift yapacağından $b$ için hiç bir şey söyleyemeyiz. $b$ tek de olsa çift de olsa $2b$ çifttir. $2b$ çift olduğundan $ a + 2b$ nin tekliği çiftliği ise $a$ ya bağlıdır. Buradan şu sonuçları çıkarabiliriz. $a$ tek ise sol taraf tektir. Sol taraf tek ise sağ taraf da tektir. Sağ taraf tek ise $c$ tektir. Benzer şekilde $a$ çift ise $c$ de çifttir. Buradan I ve II inci seçeneklerin doğru olduğu sonucu çıkar.

Örnek

$n$ çift sayı ise aşağıdakilerden kaç tanesi her zaman çifttir?
  1. $n^n$
  2. $n + 2
  3. $n!$
  4. $ n\cdot (n+1) $

Çözüm

  1. $n$ için sadece çift sayı denmiş pozitif denmediğinden $0$ veya $-2$ de $n$ olabilir. Bu durumda $n^n$ her zaman çifttir diyemeyiz.
  2. $n+2$ nin çift olduğu açıktır.
  3. $n!$ gene $n$ negatif olursa tanımsızdır ve $n=0$ için ise $0! = 1$ olarak tanımlıdır.
  4. $ n \cdot (n+1) $ çifttir çünkü bir çarpmanın çift olması için çarpanlardan birinin çift olması yeter.

Örnek

$\sqrt{2}$ nin irrasyonel olduğunu gösteriniz.

Çözüm

$\sqrt{2}$ nin irrasyonelliğini ispatlamak için rasyonel bir sayı olmadığını göstermemiz gerekiyor. Her rasyonel sayı iki tamsayının oranı şeklinde yazılabilmektedir. Örneğin $2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2}$ gibi. Demek ki $2$ rasyonel bir sayı. Bir rasyonel sayıyı sonsuz şekilde $\frac{a}{b}$ şeklinde yazabiliriz. Ancak her rasyonel sayının kesri tamamen sadeleştirerek elde edebileceğimiz aralarında asal iki tamsayının oranı şeklinde yazılabileceği görünüyor. $\sqrt{2}$ yi aralarında asal iki tamsayının oranı olarak yazabildiğimizi yani rasyonel olduğunu varsayalım: \[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{2} \cdot b = a \Rightarrow 2b^2 = a^2 \] Sol taraf $2b^2$ nin sonucu çift sayıdır. O zaman $a^2$ de çifttir. $a^2$ çift ise $a$ da çifttir. Öte yandan $a$ çift sayı ise içinde en az bir tane $2$ çarpanı vardır. $a^2$ nin içinde en az iki tane $2$ çarpanı vardır. O zaman $\frac{a^2}{2}$ çift sayıdır. $ 2b^2 = a^2 $ eşitliğinden $ \frac{a^2}{2} = b^2$ çıkar. O zaman $b^2$ de çifttir. Dolayısıyla $b$ de çifttir. Ancak $a$ ve $b$ yi aralarında asal almıştık. İkisi de çift çıktığından bir çelişkiye ulaşmış olduk. $\sqrt{2}$ nin aralarında asal iki tamsayının oranı şeklinde yazılamayacağını yani rasyonel bir sayı olmadığını ispatlamış olduk.

Pozitif, Negatif

$0$ dan büyük sayılar pozitif, küçük sayılar negatiftir.
Buna göre $0$ ne pozitif ne de negatiftir. Reel sayılar doğrusunda $0$ ın sağındaki sayılar pozitif ve solundakiler de negatiftir. Sayıların işaretleri aynı ise çarpım pozitif ve farklı ise çarpım negatiftir. Bununla ilgili bir kaç örnek çözelim:

Örnek

$a^3 \cdot b < 0 $ ve $a^2 \cdot c^3 > 0$ ise aşağıdakilerden kaç tanesi doğru olabilir:
  • $a$ negatif ise $c$ de negatiftir.
  • $a$ ve $b$ ters işaretlidir.
  • $c$ pozitiftir.

Çözüm

$a$ negatif ise $a^3$ de negatiftir. Bir sayının tek üslerinin işareti kendisi ile aynıdır. Çünkü çift üslerinin işareti pozitiftir $a^3 = a^2 \cdot a$ diye düşünürsek $a^2$ pozitiftir ve $a$ ile çarptığımızda cevabın işareti $a$ nın işaretine bağlı olacaktır. İlk verilenden $a$ ve $b$ nin zıt işaretli olduğu sonucu çıkar. İkinci verilende $a^2$ nin işareti $a$ ya bağlı olmaksızın pozitiftir. Dolayısıyla çarpımın işareti $c^3$ ün de işaretidir. $c^3$ pozitif ise $c$ de pozitiftir. Bu sonuçlarak göre birinci verilen yanlış ve diğer ikisi doğrudur.

Asal Sayı

Asal sayı

Sadece kendisine ve $1$ e tam bölünebilen $1$ den büyük tamsayılara asal sayı denir.
Örneğin ilk üç asal sayı $2,3$ ve $5$ tir. Tanımdan $1$ asal sayı değildir. Çift olan bir tane asal sayı vardır, o da $2$ dir. Bundan sonraki çift sayılar $2$ ye de bölüneceklerinden asal sayı tanımına uymazlar. Bir kaç sonuç daha çıkaralım. Örneğin $2$ dışında bir sayı asal ise tektir ve bu durumda kendisinden sonraki tamsayı çifttir ve asal değildir. Buradan iki asal sayının farkının $1$ olduğu söylenmişse bunların kesinlikle $2$ ve $3$ olduğu sonucunu çıkarabiliriz.
İki asal sayının farkı $1$ ise bunlar $2$ ve $3$ tür.

Örnek

$x,y,z$ asal sayı ve \[ x = (y-z)(y^2 + z^2 ) \] olduğuna göre $x$ kaçtır?

Çözüm

$x$ in iki çarpanı var. Asal sayı sadece kendisine ve $1$ e bölünebildiğine göre bu çarpanlardan biri $1$ biri de kendisi olmak zorundadır. Bu durumda $y-z = 1$ olmalıdır. Yukarıda da belirtildiği gibi eğer iki asal sayının farkı $1$ ise bunlar $2$ ve $3$ tür. Buradan $ y = 3$ ve $x = 2$ sonucu çıkar. Bu durumda \[ x = y^2 + z^2 = 3^2 + 2^2 = 13 \]

Örnek

$a$ ve $b$ pozitif tamsayıdır. \[ (a - 2b )(a + 2b) = 13 \] olduğuna göre $a$ ve $b$ nedir?

Çözüm

$a$ ve $b$ pozitif tamsayı olduğuna göre parantez içinde verilen çarpanlar da bir tamsayıdır. İki pozitif tamsayının çarpımı $13$ ise, $13$ bir asal sayı olduğundan bunlardan biri $1$ diğeri de $13$ tür. Daha küçük olan $a-2b$ olduğundan \[ a - 2b = 1 \qquad a + 2b = 13 \] İki denklemi alt alta topladığımızda $2a = 14$ ve $a = 7$ çıkar. Herhangi bir denklemde $a = 7$ yazarsak $b= 3$ çıkar.

Aralarında asal

$1$ dışında ortak tam böleni olmayan tamsayılara aralarında asal denir.
Örneğin $4$ ve $9$ aralarında asaldır. Tanımdan da görülebileceği gibi aralarında asal olmaları için sayıların asal olması gerekmez. Hatta pozitif olmaları da gerekmez. $-2$ ve $-3$ de aralarında asaldır. $1$ ve $3$ de aralarında asaldır. Çünkü tek ortak bölenleri $1$ dir.
  • Aralarında asal olmak için sayıların asal olması gerekmez.
  • $1$ ve $-1$ her tamsayı ile aralarında asaldır.