İfadeyi Gir Türevini Hesapla !
- Polinom, trigonometrik, üstel, logaritmik tüm fonksiyonları içeren ifadeler yaz ve türevini hesapla
- Birinci, ikinci ve daha yüksek derece türevleri anında al
- Aynı ifadenin istediğin değişkene göre türevini al
- Grafik çizme, ekstremum ve büküm noktası bulabilme (yakında...)
Soru-Cevap
[m] x + y = 70 [/m] [m] \kesir{\cos x + \cos 35 + \cos y }{\sin x + \sin 35 + \sin y } [/m] ifadesi nedir?
Üstte $\cos x + \cos y$ için ve altta da $\sin x + \sin y$ için dönüşüm formülü uygulayalım, gerekli formüller şunlar:
\begin{align*}
\sin x + \sin y &= 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} & \cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\
\end{align*}
Buna göre:
\begin{align*}
\kesir{\cos x + \cos 35 + \cos y }{\sin x + \sin 35 + \sin y } & = \frac{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} + \cos 35 }{2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} + \sin 35} \\
&= \frac{2 \cos 35 \cos \frac{x-y}{2} + \cos 35 }{2 \sin 35 \cos \frac{x-y}{2} + \sin 35} \\
&= \frac{\cos 35 (2\cos \frac{x-y}{2} + 1) }{\sin 35 (2 \cos \frac{x-y}{2} + 1)} \\
&= \cot 35
\end{align*}
Dönüşüm formülleri hakkında bilgiye buradan ulaşabilirsiniz.
[m] \kesir{\cos 7x - \cos 3x}{4 \sin 5x \cdot \sin x } [/m] nedir ?
Üstte dönüşüm formüllerinden $\cos x - \cos y $ uygulayalım:
\[ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \]
\begin{align*}
\kesir{\cos 7x - \cos 3x}{4 \sin 5x \cdot \sin x } = \frac{2 \sin 5x \sin2x}{ 4 \sin 5x \cdot \sin x } &= \frac{\sin 2x}{ 2 \sin x} \\
&= \frac{2 \sin x \cos x }{2\sin x} = \cos x
\end{align*}
[m] \tan x = 2 [/m] olduğuna göre [m] \cot\kesir{x}{2} [/m] nin değeri nedir?
\[ \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha }\]
Yukarıdaki özdeşlikte $ 2 \alpha = x$ olursa $\alpha = \frac{x}{2}$ olur, kolaylık açısından $\tan \frac{x}{2} = c$ diyelim.
\begin{align*}
\tan x &= \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{ 1 - \tan^2 \frac{x}{2}} \\
2 &= \frac{2c}{1 - c^2 } \\
2c^2 + 2c -2 &= 0 \\
c^2 + c -1 &= 0 \\
\end{align*}
İkinci derece denklemi, kökler formülü ile çözersek \[ c_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \quad c_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \]
$x$ hakkında bir aralık verilmediğinden $\frac{x}{2}$ tanjantı iki değer de olabilir. Kotanjant sorulduğundan cevap bulduklarımızın çarpmaya göre tersidir.
[m] x^{2} -x+1=0 [/m] ise [m] x^{80}-x^{60}+x^{40} [/m] ifadesinin eşiti nedir?
Verilen eşitlikteki ifadenin $x^3 +1$ in çarpanı olması dikkat çekiyor. İki tarafı da $(x+1)$ ile çarpalım:
\[ (x+1)(x^2 - x + 1 ) = 0 \cdot (x+1) \to x^3 + 1 = 0 \]
$x^3 = -1$ yazabiliriz.
\begin{align*}
x^{80} - x^{60} +x^{40} &= (x^3)^{26}x^2 - (x^3)^{20} + (x^3)^{20} \\
&= (-1)^{26}x^2 - (-1)^{20} + (-1)^{20} \\
&= x^2 -1 +1 = x^2
\end{align*}
Polinom bölmesindeki bu bölüme de bakmanız iyi olur.
[m] 120 [/m] sorunun sorulduğu bir sınavda [m] 4 [/m] yanlış bir doğruyu götürüyor.Her doğru cevap [m] 3 [/m] puan değerinde olduğuna göre, [m] 240 [/m] puan alan bir kişi kaç soruyu yanlış cevaplamıştır?
Bir özel hastahanede [m] 3 [/m] ve [m] 4 [/m] yataklı odalar bulunmaktadır.Bu hastahane aynı anda en fazla [m] 110 [/m] hasta yatırabildiğine göre, bu hastahanede en az kaç hasta odası vardır?
Bir ticari taksinin açılış ücreti [m] a [/m] lira olup, gidilen her km için sabit bir ücret alınmaktadır. [m] 5,5 [/m] km giden bir yolcu [m] 31 [/m] lira, [m] 8 [/m] km giden başka bir yolcu ise [m] 41 [/m] lira ödediğine göre, [m] a [/m] kaç liradır?
Kilometre başına $x$ lira yazsın. $5,5$ km gidenin ödeyeceği para $ a + 5,5x$ tir. $ 8 $ km giden ise $ a + 8x$ öder:
\begin{align*}
a + 5,5x &= 31 \\
a + 8x &= 41 \\
2,5 x &= 10 \\
x= 4 & \quad a = 9
\end{align*}
[m] 2 [/m] kız, [m] 5 [/m] erkek bir miktar cevizi eşit olarak paylaşıyorlar.Kızlar ceviz almaktan vazgeçince erkekler [m] 4 [/m] er ceviz fazla alıyor.Buna göre, toplam kaç ceviz vardır?
Kişi başı alınan ceviz sayısından tüm ceviz sayısını yazmaya çalışacağız. Kızlar da ceviz alırken kişi başı $x$ ceviz düşüyorsa toplam ceviz sayısı $7x$ tir. $7$ kişi $x$ er ceviz almaktadır. İkinci durumda sadece erkekler ceviz alıyor ve kişi başı $x + 4$ ceviz düşüyor. Toplam ceviz sayısı $5(x + 4) $ olur:
\[ 7x = 5x + 20 \to x = 10 \]
İki ifade de toplam ceviz sayısını verir: $ 7x = 5x + 20 = 70$
Bir baba ile kızının yaşları toplamı [m] 30 [/m] dur.Kızı babasının yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı [m] 74 [/m] olacağına göre, kızı bugün kaç yaşındadır?
Kızın yaşı $x$ ise babanın yaşı $30 - x$ tir. Kız babanın yaşına geldiğinde yaşları farkı kadar yıl geçeceğinden babaya da bu farkı, $30 - 2x$ i eklemeliyiz.
| Kız | Baba | |
|---|---|---|
| Şimdi | $x$ | $30-x$ |
| Kız babanın yaşında | $30-x$ | $60 - 3x |
Yaşları toplamından: \[ (30-x) + (60- 3x) = 74 \to x = 4 \]
Emre doğduğunda Bülent [m] 10 [/m] yaşındaydı.Emre, Bülent'in yaşına geldiğinde Bülent [m] 30 [/m] yaşında olacağına göre, Emre'nin bugünkü yaşı kaçtır?
İki insanın yaş farkı değişmeyeceğinden yaşları farkının $10$ olduğunu anlıyoruz. Bülent $30$ yaşında iken Emre $20$ yaşındadır. Emre Bülent'in şimdiki yaşına geldiğinde dendiğine göre Bülent şu an $20$ yaşındadır. Yaş farkları $10$ olduğundan Emre'nin bugünkü yaşının $10$ olduğunu anlıyoruz.