Örnek

$(18)_{10}$ sayısını ikilik tabanda yazınız.

Çözüm

$10$'luk sayı tabanındaki bir sayıyı $2$ tabanında yazmak için sayıyı sürekli ikiye böleriz ve bölünemez hale geldiğinde son bölümü alıp, kalanları tersten sıralarız. \begin{align*} 18 \div 2&=9 \rightarrow \text{ kalan} = \boxed 0 \\ 9 \div 2&=4 \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 1 \\ 4 \div 2&=2 \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 0 \\ 2 \div 2&= \boxed {1} \\ \end{align*} $1$ artık ikiye bölünemediği için son bölüm olarak $1$'i alıyoruz ve kalanları tersten sıralıyoruz. Cevap $ (1010)_{2} $ olur.

Örnek

$(89)_{10}=(a)_{3}$ eşitliğine göre $a$ nedir?

Çözüm

$10$'luk sayı tabanındaki bir sayıyı $3$ tabanında yazmak için sayıyı sürekli üçe böleriz ve bölünemez hale geldiğinde son bölümü alıp, kalanları tersten sıralarız. \begin{align*} 89 \div 3&=29 \rightarrow \text{ kalan} = \boxed 2 \\ 29 \div 3&=9 \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 2 \\ 9 \div 3&=3 \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 0 \\ 3 \div 3&= \boxed {1} \\ \end{align*} $1$ artık üçe bölünemediği için son bölüm olarak $1$'i alıyoruz ve kalanları tersten sıralıyoruz. Cevap $(89)_{10}=(1022)_{3} $ olur.

Örnek

$(3142)_{4}=(a)_{5}$ sayısını ikilik tabanda yazınız.

Çözüm

Önce $(3142)_{4}$ sayısını on tabanına çevirmeliyiz. \begin{align*} (3102)_{4}&=3\cdot 4^3+1\cdot 4^2+0\cdot 4^1+2\cdot 4^0 \\ &= 64+16+0+2 \\ &=82 \\ \end{align*} sonra $82$'yi beşlik tabana çeviriyoruz. \begin{align*} 82 \div 5&=16 \rightarrow \text{ kalan} = \boxed 2 \\ 16 \div 5&= \boxed {3} \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 1 \\ \end{align*} $3$ artık $5$'e bölünemediği için son bölüm olarak $3$'ü alıyoruz ve kalanları tersten sıralıyoruz. Cevap $ (312)_{5} $ olur.

Örnek

$(433)_{5}+(341)_{5}=(a)_{5}$ ise $a$ kaçtır?

Çözüm

Tabanları aynı olan iki sayıyı onluk düzene çevirmeden de toplayabiliriz. Aynı onluk düzendeki gibi eğer toplamımız tabanı aşıyorsa toplamdan tabanı çıkarıp kalanı yazacağız, elde olan kısmı bir sonraki basamağa taşıyacağız. \begin{align*} 433& \\ \underline{ + \text{ } 341} & \\ 1324& \\ \end{align*} Yaptığımız işlem ilk basamak için $3+1=4$ toplam tabanımızı aşmadığı için direkt aşağı geçiriyoruz. $3+4=7$ toplam tabanımız $5$'i aştığı için $7$'den $5$ çıkarıyoruz, kalan $2$'yi yazıyoruz, elde sonraki basamağa $1$ devrediyor. $4+3+ { \bf 1}=8$ , $4$ ve $3$'ü topladık elimizde bir de önceki basamaktan devreden $1$ vardı, hepsinin toplamı $8$ ediyor, $8$ de tabanımız $5$'i aşıyor, $8$'den $5$ çıkarıyoruz, kalan $3$'ü aşağı yazıyoruz, elimizdeki $1$'i de bir sonraki basamağa devrediyoruz. Bir sonraki basamakta sayı olmadığı için onu da direkt yazıyoruz. Sonuç $(1324)_{5}$ olur.

Örnek

$(524)_{6}-(245)_{6}=(a)_{6}$ ise $a$ kaçtır?

Çözüm

Tabanları aynı olan iki sayıyı onluk düzene çevirmeden de birbirinden çıkarabiliriz. Aynı onluk düzendeki gibi eğer çıkarma yaparken eksilen çıkandan küçükse bir sonraki basamak $1$ azaltılır ve elimizdeki rakama taban kadar eklenir, çıkarma işlemi yapılır. Örnekle daha iyi anlayacağız. \begin{align*} 524& \\ \underline{ - \text{ } 245} & \\ 235& \\ \end{align*} Yaptığımız işlem ilk basamak için $4 \lt 5$ olduğu için bir sonraki basamaktan bir altılık alıyoruz, $6+4-5=5$ çıkarmayı yapıp kalan $5$'i aşağı geçiriyoruz. Bir önceki işlem için $2$'den bir altılık almıştık, dolayısıyla $2$'nin değeri $1$ azaldı ve $1$ oldu, çıkarmayı bu yeni değere göre yapmaya devam edeceğiz. $1 \lt 4$ olduğu için yine bir sonraki basamaktan bir altılık alacağız, $6+1-4=3$ işlemden kalan $3$'ü aşağı yazıyoruz. Bir sonraki basamağımız $5$'ten de bir altılık almıştık yeni değeri $4$ olmuştu, $4-2=2$ kalan $2$'yi aşağı yazıyoruz. Sorumuzun cevabı $(235)_{6}$

Örnek

$(44)_{5} \cdot (34)_{5}=(a)_{5}$ ise $a$ kaçtır?

Çözüm

Tabanları aynı olan iki sayıyı çarparken basamakların çarpımını tabana böleceğiz ve kalanı alta geçireceğiz, bölüm ise elde olarak bir sonraki basamağa devredilecek. Örnekle devam edelim. \begin{align*} 44 & \\ \underline{ \times \text{ } 34} & \\ 341 & \\ \underline { + \text{ } 242 \text{ } \text{ } } & \\ 3311 & \\ \end{align*}

Örnek

$(44)_{5} \cdot (34)_{5}=(a)_{5}$ ise $a$ kaçtır?

Çözüm

Tabanları aynı olan iki sayıyı çarparken basamakların çarpımını tabana böleceğiz ve kalanı alta geçireceğiz, bölüm ise elde olarak bir sonraki basamağa devredilecek. Örnekle devam edelim. \begin{align*} 44 & \\ \underline{ \times \text{ } 34} & \\ 341 & \\ \underline { + \text{ } 242 \text{ } \text{ } } & \\ 3311 & \\ \end{align*} Yaptığımız işlemler sırasıyla, önce ilk basamaktaki $4$ ile yukarıdaki ilk basamaktaki çarptık, $4 \cdot 4=16$ , $16 \gt 5$ tabanımızdan büyük olduğu için tabanımıza bölüyoruz bölüm $3$ ve kalan $1$, kalanı aşağı yazıyoruz, elimizde $3$ var onu da bir sonraki basamağa devredeceğiz. $4$ ile yine yukarıdaki sayının ikinci basamağındaki $4$'ü çarpıyoruz, $4 \cdot 4=16$ elde $3$ vardı onu da topluyoruz, $19$ , $19 \gt 5$ yine $19$'u tabanımıza bölüyoruz, kalan $4$ aşağı yazıyoruz, bölüm $3$ ise bir sonraki basamağa devrediyor. Çarpacak basamak kalmadığı için devreden $3$ direkt sonraki basamağa yazılıyor. Aynı şekilde alttaki sayımızın ikinci rakamı $3$ ile çarpıma devam ediyoruz, burda onluk düzendeki gibi kaydırma yapacağız. $3 \cdot 4=12$ , $12 \gt 5$ olduğu için, $5$'e bölüyoruz, kalan $2$ bölüm $2$, kalanı aşağı yazıyoruz, bölümü elde olarak devrediyoruz. $3 \cdot 4=12$ eldeki $2$'yi de ekliyoruz $12+2=14$, $14 \gt 5$ , tabanımıza bölüyoruz, bölüm $2$ kalan $4$ kalanı aşağı yazıyoruz, bölümü de çarpacak rakam kalmadığı için bir sonraki basamağa yazıyoruz. Çarpma işleminin sonucunu bulmak için, bulduğumuz sayıları topluyoruz, toplarken yine taban aritmetiğinin kuralları geçerli, $5$'lik tabana göre toplama işlemini yapcağız. $1$ direkt aşağı iniyor, $4+2=6$ , $6$'dan $5$ çıktı, $1$, $1$ aşağı yazılıyor elde de bir sonraki basamağa $1$ devrediyor. $3+4=7$ elde $1$ vardı, $7+1=8$, $8$'den $5$ çıktı $3$ kaldı, aşağı yazılıyor, eldeki $1$'de sonraki basamağa devrediyor. Sonraki basamakta $2$ var, eldeki $1$'le toplayıp aşağı yazıyoruz. Sonuç: $(3311)_{5}$

Örnek

$a=(32547)_{8}$ $8$ tabanındaki $a$ sayımız tek midir,çift midir?

Çözüm

Taban aritmetiğinde bir sayının tek mi, çift mi olduğunu anlamak için şunlara dikkat etmeliyiz.
  • $(abc)_{n}$ şeklinde bir sayıda $n$ tek ise, sayının rakamları toplamına bakacağız. Eğer $a+b+c$ tek ise sayımız tek, çift ise çift olur.
  • $n$ çift ise, sayının birler basamağına bakacağız, aynı onluk tabandaki gibi, sayımızın birler basamağı çift ise sayı çift, tek ise tektir.
Sayımızın tabanı $8$'dir, $8$ çift olduğu için sayımızın birler basamağına bakıyoruz. Birler basamağında $7$ var, tek bir sayı, demek ki sayımız da tektir.

Örnek

$a=(61538)_{9}$ $9$ tabanındaki $a$ sayımız tek midir,çift midir?

Çözüm

Sayımızın tabanı $9$'dur, $9$ tek olduğu için sayımızın rakamlarının toplamına bakacağız, rakamlar toplamı tekse sayımız tek, çiftse çifttir. $6+1+5+3+8=23$, $23$ tek olduğu için sayımız da tektir.

Örnek

$8!=x \cdot 5! $ ise $x$'i hesaplayınız.

Çözüm

Faktöryel kavramını hatırlayalım, $1\cdot 2\cdot 3...n$ çarpımına, yani $1$'den başlayarak $n$ kadar tüm sayıların çarpımını $n!$ olarak ifade ediyor ve $n$ faktöryel diyoruz. Bu durumda \begin{align*} 8! &=x \cdot 5 \\ \frac{8!}{5!} &=x \\ x &= \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \\ x &= \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } \\ x &= 8\cdot 7\cdot 6 \\ x &=336 \\ \end{align*}

Örnek

Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.
  1. $(n+1)!=x(n-1)!$
  2. $12!=10!\cdot 3!\cdot n$
  3. $9!\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13 = n \cdot 11!$

Çözüm

  1. \begin{align*} (n+1)! &=x(n-1)! \\ (n+1)(n)(n-1)! &= x(n-1)! \\ (n+1)(n) &= x \\ x&= n^2+n \\ \end{align*}
  2. \begin{align*} 12! &=10!\cdot 3!\cdot n \\ 12\cdot 11 \cdot 10!&= 10!\cdot 3! \cdot n \\ 12\cdot 11 &= 3! \cdot n \\ 132 &= 3\cdot 2\cdot 1 \cdot n \\ n &= \frac{132}{6} \\ n &= 22 \\ \end{align*}
  3. \begin{align*} 9!\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13 &= n \cdot 11! \\ & \\ & & \quad 9! \cdot 10\cdot 11 &= 11! \\ & \\ 11! \cdot 12\cdot 13 &= n\cdot 11! \\ 12\cdot 13 &= n \\ n &= 156 \\ \end{align*}

Örnek

$A$ ve $n$ doğal sayıdır. $40!=A\cdot 3^n$ ise, $n$'in alabileceği en büyük değer nedir?

Çözüm

$40!=A\cdot 3^n \rightarrow A= \frac{40!}{3^n}$'dir. $A$'nın doğal sayı olabilmesi için $\frac{40!}{3^n}$ tamsayı olmalıdır, biz $40!$ içinde kaç tane kaç tane $3$ çarpanı olduğunu bulmalıyız ki $n$'in maksimum değerini bulabilelim. Bunun için $40$'ı $3$'e bölüyoruz, $40 \div 3=13$, bölümü tekrar $3$'e bölüyoruz, $13 \div 3=4$, yine $4 \div 3=1$ Bölümlerin tümünün toplamı bize $40!$ içinde kaç tane $3$ çarpanı olduğunu verecek. $13+4+1=18$, toplam $18$ tane $3$ çarpanı varmış $40!$ içinde. Demek ki $A$'nın doğal sayı olabilmesi için $n$'in alabileceği maksimum değer $18$'miş. Not: Faktöryelde asal çarpan bulma konusununun geniş hali için http://www.sayisaldershane.com/ekok-ebob/asal-carpanlar#Faktoryel konusunu okuyunuz.

Örnek

$58!$ içinde kaç tane $6$ çarpanı vardır?

Çözüm

$6$ sayısı bir asal sayı olmadığı için, önce asal çarpanlarını bulup sonra bu asal çarpanların $58!$ içinde kaç tane olduğuna bakacağız. $6=2\cdot 3$'tür. Asal çarpanlardan büyüğünü alacağız ve $58!$ faktöryelde kaç tane $3$ çarpanı vardır bunu bulacağız, $2$ için bakmıyoruz çünkü zaten $2\cdot 3$ işleminde $3$'leri $6$'ya tamamlamak için gereken $2$ çarpanları her zaman $3$ çarpanlarından daha fazladır. \begin{align*} 58 \div 3&= \boxed {19} \\ 19 \div 3&= \boxed 6 \\ 6 \div 3&= \boxed 2 \\ \end{align*} $19+6+2=27$ demek ki toplam 27 tane $3$ çarpanı varmış $58!$ içinde. $2$ için hesap yapsaydık bu sayıdan fazla çıkacaktı ve $2\cdot 3=6$ için gerekenden fazla $2$'ye sahip olacaktık, bunun için en büyük asal çarpanı kullandık ve sonuca ulaştık. Cevap: $27$

Örnek

$44!$ içinde kaç tane $24$ çarpanı vardır?

Çözüm

$24$ sayısı bir asal sayı olmadığı için, önce asal çarpanlarını bulup sonra bu asal çarpanların $44!$ içinde kaç tane olduğuna bakacağız. $24=2^3\cdot 3$ olduğu için bizim her bir $24$ çarpanı için $2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$ çarpanlarına ihtiyacımız var, yani üç tane $2$ ve bir tane $3$ çarpanına, önce kaç tane $3$ çarpanı var ona bakalım. \begin{align*} 44 \div 3&= \boxed {14} \\ 14 \div 3&= \boxed 4 \\ 4 \div 3&= \boxed 1 \\ \end{align*} $14+4+1=19$ demek ki toplam 19 tane $3$ çarpanı varmış $44!$ içinde. $2$ için de hesap yapıp toplam kaç tane $2^3$ yani $2\cdot 2\cdot 2$ çarpanı var buna da bakmalıyız. \begin{align*} 44 \div 2&= \boxed {22} \\ 22 \div 2&= \boxed {11} \\ 11 \div 2&= \boxed 5 \\ 5 \div 2&= \boxed 2 \\ 2 \div 2&= \boxed 1 \\ \end{align*} Toplam $22+11+5+2+1=41$ tane $2$ çarpanımız varmış. $2^3$ için bize $3$ tane $2$ lazım olduğuna göre $41$ sayısını da $3$'e bölmeliyiz. $41 \div 3=13$ yani $44!$'deki $24$ çarpanlarını bulmak için bize gereken $2^3\cdot 3$ çarpanlarından $13$ tane $2^3$'müz var, $19$ tane de $3$ çarpanımız var. Bu durumda küçük olan sayıyı alıyoruz, çünkü $24$ oluşturmak için bir tane $3$ çarpanı ve üç tane $2$ yani bir tane $2^3$ çarpanına ihtiyacımız var, $41!$ içinde $13$ tane $2^3$ çarpanı var, $19$ tane de $3$ çarpanı var, koşulu sağlamamız için bize gereken $13$ tane $2^3$ çarpanımız olduğu için en fazla $13$ tane $24$ çarpanımız olabilir. Cevap $13$'tür

Örnek

$67!$ sayısının sondan kaç basamağı $0$ 'dır?

Çözüm

$67!$ sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, içinde kaç tane $10$ çarpanı var onu bulmamız lazım. $10=5\cdot 2$ , $10$'un asal çarpanları $2$ ve $5$ 'tir. Büyük asal olan $5$'in kaç tane olduğunu bulursak kaç tane $10$ çarpanı olduğunu da bulmuş oluruz. \begin{align*} 67\div 5&= \boxed {13} \\ 13\div 5&= \boxed 3 \\ \end{align*} Toplam $13+3=16$ tane $5$ çarpanı varmış, yani $67!$ içinde $16$ tane $10$ çarpanı vardır. Sondaki sıfır sayısı $16$'dır.

Örnek

$a$, $b$ , $c$ ve $d$ asal doğal sayılardır. $a\cdot b=35$ , $b\cdot c=14$ ve $c\cdot d=26$ olduğuna göre $a+b+c+d$ kaçtır?

Çözüm

\begin{align*} a\cdot b&=35=5\cdot 7 \\ b\cdot c&=14=2\cdot 7 \\ & \\ a&=5 \text{ , } b=7 \text{ ve } c=2 \\ & \\ c\cdot d&=2\cdot d=26 \rightarrow d=13 \\ \end{align*} $a+b+c+d=5+7+2+13=27$