Örnek

$A$ ve $B$ kümeleri için: $2s(A$ — $ B)=3s(A\cap B)=s(A\cup B)$ $A$ — $ B$ kümesinin kaç elemanı vardır?

Çözüm

Örnek

$A$ ve $B$ kümeleri için: $s(A$ — $ B')=3$ ve $A$ kümesinin alt küme sayısı $32$, $s(A\cup B)=10$ ise $B$ kümesinin kaç elemanı vardır?

Çözüm

$B$ kümesinin tümleyeni $B$'nin dışındaki elemanları gösterir, $A$ kümesinin $B$'nin dışındaki elemanlardan farklı bir elemanı olabilmesi için bu elemanların $B$'nin içinde olması gerekir. $(A$ — $ B')= A\cap B$ 'dir. Bu durumda $A\cap B$'de $3$ ortak eleman olmalıdır. $A$ kümesinin altküme sayısı $32 =2^5$ olduğundan $A$'nın eleman sayısı $5$'tir. Şekilde görüldüğü gibi $s(A$ — $B)=2$ olmalıdır, $s(A\cup B)= s(A$ — $B) + s(A\cap B) + s(B$ — $A)$ olduğuna göre $B$'nin $A$'dan farklı $5$ elemanı bulunmalıdır. $s(B) = 8 $ olur.

Örnek

$A$ ve $B$ kümeleri için
  • $s(A$ — $ B')= 2$
  • $A$ kümesinin alt küme sayısı 64
  • $s(A\cup B)=16$
olduğuna göre $s(B)$ kaçtır?

Çözüm

$s(A$ — $ B')=s(A\cap B)= 2$'dir$A$ kümesinin altküme sayısı $64$ ise $n$ elemanlı bir kümenin altküme sayısı $2^n$ olduğuna göre, $A$'nın eleman sayısı $6$ olur. $s(A\cup B)= s(A$ — $B) + s(A\cap B) + s(B$ — $A)$ olduğuna göre $B$'nin $A$'dan farklı $10$ elemanı bulunmalıdır. Ortak elemanları da eklersek $s(B)=12$ olur.

Örnek

  • $A= \{ 1,\{2,3 \} \}$
  • $B=\{ 2,3 \}$
kümelerinin kuvvet kümeleri $P(A)$ ve $P(B)$'dir buna göre $P(A)\cap P(B)$ kümesini yazınız.

Çözüm

Kuvvet kümesi bir kümenin bütün alt kümelerinin kümesidir. İki kümenin ortak elemanı olmadığı için ortak alt kümeleri sadece boş kümeyi içeren alt kümedir. $P(A)\cap P(B)=\{ \subset \}$ 'dir, dikkat ediniz sadece $\subset$ değil, elemanı boş küme olan kümedir.

Örnek

$A$ ve $B$ kümeleri için
  • $A\cup B$'nin alt küme sayısı 256,
  • $A\cap B$ 'nin alt küme sayısı 8,
  • $A$ — $ B$ 'nin alt küme sayısı ise 16'dır.
$B$ — $ A$ kümesi kaç elemanlıdır?

Çözüm

$A\cup B$'nin eleman sayısı $2^8$ altkümesi olduğuna göre $8$'dir. $A\cap B$'nin eleman sayısı da $2^3$ altkümesi olduğuna göre $3$'tür. $A$ — $ B$'nin ise $2^4$ altkümesi olduğuna göre $4$ elemanı vardır. $s(A\cup B)= s(A$ — $B) + s(A\cap B) + s(B$ — $A)$ olduğuna göre, $s(B$ — $A)=1$ olur.

Örnek

  • $A\cup B$'nin alt küme sayısı 128'dir.
  • $s(A$ — $ B)=5$ ise
$B$ kümesinin kaç elemanı vardır?

Çözüm

$A\cup B$'nin alt küme sayısı 128 ise , $A\cup B$'nin eleman sayısı $2^n=128$ $n=7$ , $7$'dir.
$s(A\cup B)=7$ ve $s(A$ — $ B)=5$ ise, $B$'nin eleman sayısı $7-5=2$'dir.

Örnek

  • $s(A$ — $ B)=7$
  • $s(B$ — $ A)=12$
  • $A\cap B$ kümesinin özalt küme sayısı 15
ise, $s(A\cup B) $ kaçtır?

Çözüm

$A\cap B$ kümesinin özalt küme sayısı 15 ise alt küme sayısı $16$'dır. Eleman sayısı ise $2^n=16$ $n=4$'ten $4$'tür. şimdi kümelerimizi grafikte de görebileceğimiz gibi cevabı bulabiliriz. $s(A\cup B)=7+4+12=23 $

Örnek

Alt küme sayısı $n$ olan bir $A$ kümesinin eleman sayısı $5$ artırılırsa, alt küme sayısı kaç artar ?

Çözüm

Alt küme sayısı $2^n$ dir, $5$ eleman artırılırsa $2^{n+5}$ olur. \begin{align*} 2^{n+5}-2^n&=2^5\cdot 2^n-2^n\\ &=2^n(2^5-1)\\ &=31\cdot 2^n \\ \end{align*} kadar artar...

Örnek

Alt küme sayısı ve özalt küme sayısı toplamı $127$ olan bir kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

Çözüm

Özalt küme sayısı $127$ ise alt küme sayısı $128$, eleman sayısı $2^n=128=2^7$'den $7$'dir. $2$ elemanlı alt küme sayısı $\binom{5}{2}$ li kombinasyonudur. \begin{align*} \binom{5}{2}&= \frac{5!}{(5-2)! \cdot 2!}\\ &= \frac{5!}{3! \cdot 2!}\\ &=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}\\ &= \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\\ &=10 \end{align*}

Örnek

$A$ ve $B$ gibi iki kümenin alt küme sayıları toplamı $40$'tır. Buna göre bu iki kümenin eleman sayıları toplamı kaçtır?

Çözüm

Toplamı $40$ olan $2$'nin kuvvetleri sadece $2^5=32$ ve $2^3=8$ vardır, $s(A) + s(B)=5+3=8$'dir.

Örnek

$A= \{ 1,2,3,4,5 \}$ kümesinin $2$ ve $5$'i beraber bulundurmayan kaç tane alt kümesi vardır?

Çözüm

$A$'nın tüm alt kümelerinin sayısı $2^5=32$'dir, şimdi tersten düşünüp $A$'nın $2$ ve $5$'i beraberce bulunduran alt küme sayısını bulalım, $2$ ve $5$ hep bulunuyorsa geriye $1,3,4$'ten oluşan bir küme kalıyor, bu üç elemandan oluşan kümenin alt küme sayısını bulursak, $2$ ve $5$ sabit yanlarına konulacağı için $2$ ve $5$'i beraberce her zaman bulunduran alt küme sayısını bulmuş oluruz. $1,3,4$'ten oluşan kümenin alt küme sayısı $2^3=8$'dir, $32-8=24$ ise $2$ ve $5$'i beraber bulundurmayan alt küme sayısıdır.

Örnek

Bir $A$ kümesinin $2$ elemanı atıldığında elde edilen kümenin alt kümelerinin sayısı, $A$ kümesinin alt kümelerinin sayısının yüzde kaçıdır?

Çözüm

$A$ kümesinin eleman sayısına $n$ diyelim, $2^n$ alt küme sayısı, $2$ eleman atıldığında alt küme sayısı $2^{n-2}$ olur. Bunların birbirine oranına bakalım. \begin{align*} \frac{2^n}{2^{n-2}}&= \frac{2^n}{2^n \cdot 2^{-2}}\\ &=\frac{2^n\cdot 2^2}{2^{n}} \qquad \text{ $2^{-2} $ yukarıya $2^2$ olarak geçer. } \\ &=4\\ \end{align*} $2$ eleman atıldığında alt küme sayısı $\frac{1}{4}$'üne düşüyor, bu da $\%25$'e eşittir.

Örnek

$E$ evrensel kümesinde,
  • $s(E)=40$
  • $s(A\cap B)\neq \emptyset$
  • $s(A\cup B)'=18$
  • $s(A) \gt s(B)$
ise $B$ kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?

Çözüm

Örnek

$n$ elemanlı bir kümenin en çok $n-3$ elemanlı alt küme sayısı $42$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

Çözüm

Örnek

  • $A \not\subset B$
  • $A\cap B \neq \emptyset$
  • $s(A$ — $ B)=10$
olduğuna göre $s(A\cup B)$ en az kaç olabilir?

Çözüm

Örnek

$A= \{ 0, 1, \{1,2 \}, 3, \{2,3 \}, 4 \}$ kümesinin alt kümelerinin kaçında $1$ ve $3$ elemanları birlikte bulunur?

Çözüm

Örnek

$A= \{ a,b,c,d,e,f,g \} $ kümesinin $3$ elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde $a$ bulunur $e$ bulunmaz?

Çözüm

Örnek

Bir $A$ kümesinin kuvvet kümesinin alt kümelerinin sayısı 128 olduğuna göre, $A$ kümesinin $2$ elemanlı kaç alt kümesi vardır?

Çözüm

Örnek

Bir $A$ kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı $84$ olduğuna göre, $2$ elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm