Örnek

$ A = \{a,b,c,d\} $ kümesinin altkümeleri için
  1. Kaç tanesinde $a$ elemanı bulunur?
  2. Kaç tanesinde $a$ elemanı bulunmaz?
  3. Kaç tanesinde $a$ ve $b$ bulunur?
  4. Kaç tanesinde $a$ veya $b$ bulunur?

Çözüm

  1. $a$ yı içeren altkümelerin dökümünü yapalım. $ \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{ a,d \}, \{ a,b,c \}, \{ a,b,d \}, \{ a,c,d \}, \{ a,b,c,d \} $. $a$ yı içeren tüm altkümeler $8$ tanedir ve yukarıda görüldüğü gibidir. Şimdi tüm bu altkümelerde $a$ yı görmeyelim, $a$ yı atarak baktığımızda şu altkümeler oluşmaktadır: $ \{ \}, \{ b \}, \{ c \}, \{ d \}, \{ b,c \}, \{ b,d \}, \{ c,d \}, \{ b,c,d \} $. Bu altkümeler $\{ b,c,d \}$ kümesi ile oluşturabileceğimiz tüm altkümelerin listesidir. $a$ yı içeren altkümeler oluştururken $a$ yı mutlaka sepete atacağımızdan aslında kalanlarla değişik ne yapabiliriz onu düşünmüş oluyoruz. Demek ki belli bir elemanın olduğu altkümeler oluştururken bu eleman atılır ve kalan kümenin altküme sayısı bulunur.
  2. $a$ nın bulunmadığı altkümeler $a$ elemanı atıldığında kalan kümenin altkümeleridir. $\{ b,c,d \}$ kümesinin altküme sayısı $2^3 =8$ olur. Dikkat edelim $a$ nın bulunduğu altküme sayısı ilginç bir şekilde bulunmadığı altküme sayısına eşittir.
  3. İki elemanın da bulunduğu altküme sayısı artık kolaydır. İstenen elemanlar zaten her altkümeye gireceğinden atılır ve kalanlarla değişik ne yapılabilir buna bakılır. Cevap $2^2 = 4$ tür.
  4. Bu soruyu iki yoldan çözeceğiz.
    1. İlk yolda tüm altkümelerden istenmeyen altkümeleri çıkaracağız. $a$ veya $b$ nin olduğu altkümelere yalnız $a$ yı içerenler, $a$ ve $b$ yi içerenler ve yalnız $b$ yi içerenler girer. Bu kümeye girmeyen altkümeler ne $a$ ne de $b$ yi içeren altkümelerdir. Tüm altkümeler $2^4=16$ tane, $a$ yı da $b$ yi de içermeyenler bu elemanları atıp kalan kümenin altküme sayısını bulursak $2^2$ tane. Tüm altkümelerden istenmeyen altkümeleri çıkarırsak $16-4=12$ tane.
    2. İkinci yolda $a$ yı içeren altkümelere, ikisini de içerenler $a$ yı içerenler hesaplanırken sayılmış olduğundan $b$ yi içerip $a$ yı içermeyen altkümeleri ekleyeceğiz. $a$ yı içeren altkümeler $2^3 = 8$ tane. $a$ yı içerip $b$ yi içermeyenler $2^2 = 4$ toplarsak $12$ olur.

$n$ elemanlı kümenin $r$ elemanlı altkümeleri sayısı

$n$ elemanlı bir kümenin $r$ elemanlı altkümeleri sayısı kombinasyon konusundan gelen bir formülle bulunur. $n$ in $r$ li kombinasyonu şuna eşittir: \[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (n-r)!} \] Eleman sayısı belli olan altkümelerin sayısını bulurken bunu kullanacağız.

Örnek

$A = \{ a,b,c,d,e \} $ kümesinin
  1. $3$ elemanlı altkümeleri sayısı nedir?
  2. en az iki elemanlı altküme sayısı nedir?
  3. en fazla üç elemanlı altküme sayısı nedir?

Çözüm

  1. $5$ elemanlı bir kümenin $3$ elemanlı altkümeleri sayısı $5$ in $3$ lü kombinasyonudur. \[ \binom{5}{3} = \frac {5!}{2! \cdot 3!} = 10 \]
  2. En az iki elemanlı altkümelere $2$ ve daha fazla elemanı olan altkümeler girer. \[ \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 10 + 10 + 5 + 1 =26 \] İki ve daha fazla elemanlı altkümeleri bulacağımıza tüm altküme sayısı olan $2^5$ ten $1$ ve $0$ elemanlı altkümeleri de çıkarabilirdik. $1$ elemanlı altkümeler $\binom{5}{1}$ açıkça $5$ tanedirler. $0$ elemanlı da $1$ tanedir. $32 - 6 = 26$ bulmuş olduk.
  3. En fazla üç elemanlı altkümeler $3$ ve daha az eleman içeren altkümelerdir. Bunlar da $\binom{5}{3} + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} + \binom{5}{0} $ hesaplanarak $26$ bulunur.
Önemli bir örnek:

Örnek

$ A = \{ a,b,c,d,e,f,g,h \} $ kümesi için verilenleri hesaplayınız.
  1. $a$ yı içeren $3$ elemanlı altkümeleri sayısı
  2. $a$ yı içeren $b$ yi içermeyen $4$ elemanlı altkümeleri sayısı
  3. $a$ ve $b$ yi içeren $6$ elemanlı altkümeleri sayısı
  4. $a$ veya $b$ yi içeren $4$ elemanlı altkümeleri sayısı

Çözüm

    Bu sorularda toplam kaç eleman var ve sepette kaç boş yerimiz var buna bakıp kombinasyon alacağız.
  1. $a$ yı içeren $3$ elemanlı altkümeleri sayısı
  2. Bizden şöyle altkümeler istenmekte: $\{a,-,- \}$. Düşünürsek aslında $a$ yı seçmiyoruz. Onu kesin koyacağız, yanına iki eleman seçiyoruz. $a$ yı zaten koyduğumuzdan elimizdeki elemanlar $ \{ b,c,d,e,f,g,h \} $, $7$ tane. Sepetteki boş yer $2$. Cevap $\binom{7}{2} = 21 $.
  3. $a$ yı içeren $b$ yi içermeyen $4$ elemanlı altkümeleri sayısı
  4. Sepet şu şekilde $\{a,-,-,- \}$ yani $3$ boş yer var. $a$ yı zaten aldık $b$ de istenmiyor. Bunları atarsak elimizde kalan eleman sayısı $\binom{6}{3} = 20 $.
  5. $a$ ve $b$ yi içeren $6$ elemanlı altkümeleri sayısı
  6. İkisini de içerdiği için $4$ boş yerimiz var. İki elemanı zaten aldığımız için $6$ elemanımız var. $\binom{6}{4} = 15 $.
  7. $a$ veya $b$ yi içeren $4$ elemanlı altkümeleri sayısı
  8. İki yolla yapacağız:
    1. $a$ yı içeren $4$ elemanlı altkümelere $b$ yi içerip $a$ yı içermeyenleri eklersek (kesişimi iki kere saymamak için) cevabı buluruz. $a$ yı içeren $4$ elemanlı altkümeler $\{ a,-,-,-\}$ şeklinde. Sepette $3$ boşluk var. Elimizde $7$ eleman var. $\binom{7}{3} = 35 $. Burada hem $a$ ve hem $b$ yi içeren altkümeler sayılmış oldu çünkü $a$ yı koyduk ve yanına gelebilecek tüm $3$ lüleri bulduk. $b$ yi içerip $a$ yı içermeyen altkümeler: $\{b,-,-,-\}$. Elimizde kalan elemanlar $\{ c,d,e,f,g,h \}$. $\binom{6}{3} = 20 $ İkisini toplarsak $55$ altküme olur.
    2. Tüm $4$ elemanlı altkümelerden hem $a$ hem de $b$ yi içermeyen altkümeleri çıkarırsak $a$ veya $b$ den en az birini içerenler kalmış olur. $\binom{8}{4} - \binom{6}{4} = 70 -15 = 55 $