Örnek

\[ A=\{ x,\{y\}, \{2,4\},5 \}\] aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
  1. $x\in A$
  2. $\{2,4\}\in A$
  3. $x\subset A$
  4. $\{5\}\in A$
  5. $\{y\}\in A$

Çözüm

$A$ kümesinin elemanları $x$, $\{ y \} $, $\{2,4\}$ ve $5$'tir. Buna göre 1, 2 doğru, 3 yanlıştır, $x$ bir elemandır, eğer $x$ elemanıyla şöyle bir küme oluşturulsaydı $\{ x \} $ bu küme $A$'nın altkümesi diyebilirdik ve $\{ x \} \subset A$ olarak gösterebilirdik. 4 de yanlıştır, $\{5\}$ $A$'nın bir elemanı değildir, bir altkümesidir. 5 doğrudur, $ \{y\}\ $ $A$'nın bir elemanıdır.

Örnek

\[ A=\{ x,\{y,z\}, a, \{b\},c \}\] aşağılardan hangisi A kümesinin bir alt kümesi değildir?
  1. $\{x\}$
  2. $\{\{b\}\}$
  3. $\{y,z\}$
  4. $\{c\}$
  5. $\{a\}$

Çözüm

Doğru cevap $c$'dir, $\{y,z\}$ $A$'nın altkümesi değildir, doğru gösterim $\{\{y,z\}\}$ şeklinde olmalıydı.

Örnek

\[ A=\{ 1,\{a,b\}, b, \emptyset \}\] şıklardan hangisi doğrudur?
  1. $\{b\}\in A$
  2. $\{\emptyset,b\} \subset A$
  3. $\{a,b\}\subset A$
  4. $\{1,a\}\subset A$
  5. $s(A)=5$

Çözüm

$A$ kümesinin elemanları $1$, $\{a,b\}$, $b$ ve $\emptyset $'dir. Buna göre $a$ şıkkı yanlıştır, $b \in A$ şeklinde gösterseydik doğru olurdu. $b$ şıkkındaki $\{\emptyset,b\} \subset A$ ifadesi doğrudur, $ \emptyset$ ve $b$ elemanlarından oluşan bu küme $A$'nın iki elemanlı bir altkümesidir. $d$ şıkkındaki $a$ elemanı $A$ kümesinin bir elemanı değildir, $\{1,a\}\subset A$ ifadesi doğru değildir. $A$'nın eleman sayısı $4$'tür $e$ şıkkı da yanlıştır.

Örnek

\[ A=\{ \{ a \},b, \{ \emptyset \} \}\] şıklardan kaçı yanlıştır?
  1. $\emptyset \subset A$
  2. $\emptyset \in A $
  3. $\{b\} \subset A$
  4. $\{a\} \subset A$
  5. $\{\emptyset\} \subset A$

Çözüm

$A$ kümesinin elemanları $ \{ a \}$, $b$ ve $ \{ \emptyset \} $'dir. 1. ifade kümelerin tanımı gereği doğrudur, $ \emptyset $ her zaman bir kümenin altkümesidir. 2. ifade yanlıştır, $ \emptyset $ $A$'nın bir elemanı değildir, $ \{ \emptyset \} $ $A$'nın bir elemanıdır. 3. ifade doğrudur, $\{b\} $ kümesi $A$'nın da bir elemanı olan $b$ elemanından oluşan tek elemanlı bir kümedir. 4. ifade yanlıştır, $ \{ \{a\} \} \subset A$ şeklindeki bir gösterim doğru olurdu. 5. ifade de yanlıştır, $\emptyset$ $A$'nın bir elemanı olmadığı için bu küme bir altküme değildir.

Örnek

$X$ ve $Y$ aynı evrensel kümede bulunan iki küme ve
  1. $X\backslash Y'= \{ 1,2 \}$
  2. $X\backslash Y= \{ 3,4,5 \}$
  3. $X \cup Y=\{1,2,3,4,5 \}$
ise $Y$ kümesini yazınız?

Çözüm

ifadeleri incelersek; $X\backslash Y'= \{ 1,2 \}$ ise $X$'in $Y$'nin dışındaki elemanlardan farklı olan elemanları $1$ ve $2$'dir. $Y=\{1,2 \} $ aşağıdaki şekle bakıldığında daha rahat anlaşılabilir.

Örnek

  1. $E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$
  2. $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
  3. $B = \{1 , 2 , 5 , 6, 7 \}$
  4. $C = \{ 2, 5, 6, 9 \}$
yukarıdakilere göre, $ B $ — $ (A' \cup C') $ kümesini yazınız.

Çözüm

$A'= \{6,7,8,9,10 \}$ $C'=\{1,3,4,7,8,10 \}$ $ (A' \cup C')=\{1,3,4,6,7,8,9,10 \} $ $ B $ — $ (A' \cup C')=\{2,5\} $

Örnek

  1. $A = \{ 1, 2, 3, 4 \}$
  2. $A\cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 \}$
  3. $A $ — $ B=\{1 ,2 , 3 \}$
yukarıdakilere göre, $ B $ kümesini yazınız.

Çözüm

$A $ — $ B=\{1 ,2 , 3 \}$ olduğuna göre $4$ hem $A$ hem de $B$ kümelerinde bulunmalıdır. $A\cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 \}$ olması için $B$ kümesinde $ \{5,6,7 \}$ elemanları bulunmalıdır. Ortak eleman olan $4$'ü de eklersek $B=\{4,5,6,7\}$ olur.

Örnek

  1. $A\cup B = \{ a, b, c, d, e \}$
  2. $C= \{a, d , e, f, g, h \}$
olduğuna göre, $ (A \cap C) \cup (B \cap C) $ kümesini yazınız.

Çözüm

$ (A \cap C) \cup (B \cap C) $ ifadesini $ ( A \cup B) \cap C$ şeklinde de ifade edebiliriz. Buna göre cevap $\{ a, d , e \}$'dir.

Örnek

  1. $A = \{ 1, 12, 13, 15 \}$
  2. $B = \{ 2, 3, 4, 6 \}$
  3. $C=\{ 2 , 5, 13, 15 \}$
yukarıdakilere göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur.
  1. $ A \cap C= \emptyset $
  2. $A $ — $ B=\emptyset$
  3. $C $ — $ B=C$
  4. $ B \cap C= \emptyset$
  5. $B $ — $ A=B$

Çözüm

$ A \cap C= \emptyset $ doğru değildir, $A$ ve $C$'nin ortak elemanları vardır, $13$ ve $15$ ortak elemanlarıdır. $A $ — $ B=\emptyset$ ifadesi de doğru değlidir, $A$'nın $B$'den farklı elemanları vardır. $C $ — $ B=C$ ifadesinin doğru olması için $ C \cap B$'nin $ \emptyset$ olması gerekirdi, halbuki ortak elemanları vardır, $2$ ortak elemanlarıdır. $2$ ortak elemanlarıdır yukarıda söylemiştik, $ B \cap C$ boş küme olamaz. $B $ — $ A=B$ doğrudur, çünkü $B$ ile $A$'nın ortak elemanı yoktur, $B \cap A= \emptyset $'dir.

Örnek

$A$ ve $B$ aynı evrensel kümedeki iki kümedir. $(A$ — $ B')$ — $ A$ kümesini yazınız.

Çözüm

$B$ , $A$'nın altkümesi olsun ya da olmasın $(A$ — $ B')$ ifadesinde, eğer $A$ boş küme değilse, $A$'nın elemanları olmalıdır. .Bu durumda $(A$ — $ B')$ ifadesinin $A$'dan farklı elemanları olamaz. $(A$ — $ B')$ — $ A$ ifadesinin eşiti bu durumda $\emptyset$ olmalıdır.

Örnek

$ C \cap B =\emptyset $ olduğuna göre $\left[ C\cup (C\cup B)' \right] '$ kümesini yazınız.

Çözüm

Belirtilmediğine göre evrensel kümemiz $C$ ve $B$ kümelerinin birleşiminden oluşmaktadır. Buna göre $(C\cup B)$'nin değili boş kümedir. $C\cup \emptyset $ $C$ de $C$ olacaktır. bu durumda ifademiz $C'$ haline gelmiştir. $ C \cap B =\emptyset $ olduğuna göre $C'$ $B$ kümesine eşittir. Yani cevabımız $B$'dir.

Örnek

$ A \text{ ve } B $ kümelerinin tümleyenleri $A', B'$ ise $(B $ — $ A)\cap (A$ — $ B)$ kümesini yazınız.

Çözüm

$B $ — $ A$ , $B$ kümesinde olup $A$'da olmayanları ifade eder. Aynı şekilde $A $ — $ B$ , $A$'da olup $B$'de olmayanları ifade eder. Bu durumda bu iki ifadenin kesişme imkanı tanım gereği yoktur, cevap $\emptyset $'dir.

Örnek

$ A$ ve $B \neq \emptyset$ ve $B\cap A'$ neye eşittir.

Çözüm

$B$ — $(B\cap A)$ 'ya eşittir.

Örnek

$A\neq \emptyset $ ve $A\subset C$ ise $(A\cup \emptyset) \cup (A \cap C) $ ifadesine şıklardan hangisine eşittir?
  1. $ A $
  2. $\emptyset $
  3. $A'$
  4. $C/A$
  5. $C$

Çözüm

$(A\cup \emptyset) =A$'dır, $A \cap C$ ise $A$, $C$'nin altkümesi olduğuna göre $A$'dır, bu iki ifadenin birleşimi de $A$'dır, doğru cevap $a$ şıkkıdır.

Örnek

$E$ evrensel küme olmak üzere, $A$ ve $B$ kümeleri verilmiştir. $A\subset B$ ise, hangi şık yanlıştır?
  1. $ A\cap B=A $
  2. $B'\subset A'$
  3. $B' \cap A=\emptyset$
  4. $A\cup B=B$
  5. $B\cap A'=A$ — $ B$

Çözüm

Aşağıdaki şemaya bakarsak rahatça görebileceğimiz gibi; $B$, $A$'yı kapsadığından ilk ifade doğrudur. $A$'nın tümleyeni $B$'nin tümleyenini kapsar, ifade doğrudur. $B'$, $A$ ile kesişmez, ifade doğrudur. $A$, $B$'nin altkümesi olduğu için $A$ ile $B$'nin birleşimi $B$'dir, ifade doğrudur. $B \cap A'$ ifadesinin eşiti ise $B$ — $A$ olmalıydı, ifade yanlıştır.

Örnek

$E$ evrensel küme olmak üzere, $A$ ve $B$ kümeleri verilmiştir. $(B$ — $ A)\cup (B'$ — $ A)$ kümesi şıklardan hangisine eşittir?
  1. $ A\cup B' $
  2. $B'$
  3. $A\cup B$
  4. $A'\cap B$
  5. $A'$

Çözüm

Doğru cevap $d$'dir.

Örnek

$A\neq B\neq C$ olmak üzere, $A\subset B\subset C$ ve $(A\cup B)' \cap (B\cup C)'$ kümesi neye eşittir?
  1. $ B$
  2. $A$
  3. $C$
  4. $C'$
  5. $\emptyset$

Çözüm

$(A\cup B)'$ ifadesi $A'$ ya dolayısıyla boş kümeye eşittir, $(B\cup C)'$ ifadesi ile $\emptyset $ kesişimi ise yine boş kümedir. Cevap $e$ şıkkıdır.

Örnek

$C\subset B \subset A$ olmak üzere, $(A'\cap B') \cap (B' \cap C')$ neye eşittir?
  1. $C' $
  2. $C$
  3. $\emptyset$
  4. $A'$
  5. $B'$

Çözüm

$(A'\cap B')$ ifadesi $B \subset A$ olduğu için boş kümeye eşittir.$ B' \cap C'$ ise $B \subset C$ olduğu için yine boş kümedir. İfademiz $ \emptyset \subset \emptyset $ dönüştüğü için cevap $\emptyset $'dir.

Örnek

$E$ evrensel küme olmak üzere, $E=\{x|x\in N \qquad 1\leq x \leq 10 \}$ \[ A=\{1, 2, 3, 4, 5\} \text{ ve } B=\{1, 2, 5, 7, 8, 9, 10\} \] $C'=\{ 2, 5, 7, 9 \}$ ise $A$ — $ (B\cap C)$ kümesini yazınız.

Çözüm

$E$ evrensel kümemiz $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ elemanlarından oluşmaktadır. $C'=\{ 2, 5, 7, 9 \}$ ise $C$ kümesinin elemanları $1, 3, 4, 6, 8, 10$'dur, bu durumda $ (B\cap C)$, $ \{1, 8, 10 \}$'dur. $A$ — $ \{1, 8, 10 \}$ ise $\{2,3,4,5 \} $'tir.

Örnek

  1. E: Bir sınıftaki tüm öğrenciler
  2. İ: İngilizce bilmeyen öğrenciler
  3. A: Almanca bilmeyen öğrenciler bunlara göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
  1. Bir dil bilen sayısı 17'dir.
  2. İki dili de bilenlerin sayısı 10'dur.
  3. İki dili de bilmeyenlerin sayısı 7'dir.
  4. En fazla bir dili bilenlerin sayısı 27'dir.
  5. En az bir dil bilenlerin sayısı 27'dir.

Çözüm

Örnek

taralı alan şıklardan hangisi ile ifade edilemez?
  1. $A'\cap C' \cap B$
  2. $B\cap (C\cup A)'$
  3. $(A\cap B)' \cap C'$
  4. $(B $ — $ A)$ — $ C$
  5. $(B $ — $ C)\cap A'$

Çözüm

Örnek

taralı bölgeleri aşağıdakilerden hangisiyle ifade edebiliriz?
  1. $(A$ — $ B) $ — $ (B\cap C) \cup (B$ — $ A)$
  2. $(A'\cap B) \cup C$
  3. $(B$ — $ A)\cap (A'$ — $ C) $
  4. $(B$ — $ A)\cup(C$ — $ B)$
  5. $ (A'\cap B) \cup (A'\cap C) $

Çözüm

Cevap $d$'dir.