Kökleri verilen ikinci derece denklem

Kökleri verilen bir ikinci derece denklemi basit bir şekilde şöyle yazabiliriz. Kökleri $2$ ve $3$ olan bir denklem düşünelim: \[ (x-2)(x-3)=0 \] Bu ifadeyi dağıttığımızda $x^2-5x+6=0$ çıkar. Burada $x$'in katsayısı $-5$ in kökler toplamının ters işaretlisine, sabit sayı olan $+6$'nın verilen köklerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edelim. İlerde ispatını yapacağımız gibi, bu her zaman böyle olmak zorundadır. Hemen başka bir örnek yazalım: Kökleri $1$ ve $4$ olan denklem \[ (x-1)(x-4)=0\] Dağıttığımızda $x^2-5x+4=0$ çıkar. Gene $x$'in katsayısının ters işaretlisi verilen köklerin toplamına, sabit sayı da çarpımı olan +4'e eşit oldu. Demek ki kökleri verilen bir denklemin açık halini hemen yazabiliriz. Örneğin kökleri $2$ ve $6$ olan denklemin açık halini yazalım. Kökler toplamı $8$ ve çarpımı $12$ dir. Demek ki denklem \[ x^2 - 8x +12=0\] Bir denklemin açık halini hemen yazmak için $x^2 - \textbf{T} x + \textbf{Ç} = 0$ yapmamız yeterli oluyor. $\textbf{T}$ kökler toplamını, $\textbf{Ç}$ ise kökler çarpımını ifade ediyor.) Şimdi ilk yazdığımız denklemi, $(x-2)(x-3)=0$, bir sayı ile çarpalım. Örneğin \[ 5(x-2)(x-3)=0\] Gene bu eşitliği sağlayan $x$ değerleri $2$ ve $3$ tür. Denklemi sabit bir sayı ile çarpınca kökler değişmiyor. Ancak dağıtınca \[ 5x^2-25x+30=0\] elde ediyoruz. Artık $x$ in katsayısı kökler toplamını vermiyor. Ancak $x^2$ nin katsayısına bakıp denklemin kaçla çarpıldığını anlayabiliriz, $5$ ile. Demek ki $-25$ i $5$ e bölmemiz yeterli. Yani eğer $x^2$'nin katsayısı $1$ değilse, tüm denklemi o sayıya bölersek kökler çarpımını ve toplamını yine görebiliriz.

Kökler toplamı ve çarpımı

Şimdi yazacağımız sonuç artık anlaşılmaktadır: \[ax^2+bx+c= 0\] şeklinde verilen bir denklem için kökler toplamı \[x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\] çarpımı ise \[x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}\] dır. Genel bir ispatı şöyle yapabiliriz: Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan en genel ikinci derece denklem $a \in \mathrm{R}, a \neq 0$ olmak üzere, kolayca anlaşılacağı gibi \[ a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)=0 \] Bu denklemi dağıtırsak $a(x^2-x\cdot x_1 - x \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2)$ çıkar. Düzenlersek: \[a [ x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 ]=0\] elde ederiz. Aşağıdaki denklemlerin açık halini katsayıları tam sayı olacak şekilde \[x^2 - Tx + Ç= 0 \] den yararlanarak yazınız. (gerekirse tam sayı olması için denklemi bir sayıyla genişletin)

Alıştırmalar

Yukarıda köklerini bilmeyip kökler toplamı ve çarpımını bilirsek bir denklemi yazabileceğimizi öğrendik. Aşağıda bununla ilgili standart ve çok önemli bir kaç örnek çözülmektedir:

Örnek

$3x^2 + 6x-12$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ dir. Kökleri $x_{1}-1$ ve $x_{2}-1$ olan denklemi yazınız.

Çözüm

Biz yeni bir denklem yazmak istiyoruz. Bu denklemin kökleri $x_{1}-1$ ve $x_{2}-1$. Demek ki yeni denklemin kökler toplamı $(x_{1}-1)+(x_{2}-1)$. Yani $(x_{1}+x_{2}-2)$ yi bulmalıyız. Ilk verilen denklemden $(x_{1}+x_{2})$ yi bulabiliriz. \[\frac{-b}{a}=\frac{-6}{3}=-2=(x_{1}+x_{2})\] Demek ki kökler toplamı $(x_{1}+x_{2}-2)=-4$ Aynı şekilde yeni denklemin kökler çarpımı$(x_{1}-1)\times(x_{2}-1)$ dir. Bu ifadeyi dağıtırsak \[(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1)\] buluruz. İlk denklemden $(x_{1}x_{2})$ çarpımını bulabiliriz. \[\frac{c}{a}=(x_{1}x_{2})=\frac{-12}{3}=-4\] Demek ki yeni denklemin kökler çarpımı\[(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1)=(-4)-(-2)+1=-1\] $x^2 -Tx + Ç = 0$ de bulduklarımızı yerine koyarsak yeni denklem \[x^2 +4x -1 = 0\] olur.
Biraz daha zor bir örnek:

Örnek

$x^2 -2x+4$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ dir. Kökleri \[ \frac{1}{x_{1}^2} \text{ ve } \frac{1}{x_{2}^2}\] olan denklemi yazınız.

Çözüm

Bu sefer çarpımlarından başlayalım, çünkü daha basit. Yeni denklemin kökler çarpımı \[ \frac{1}{x_{1}^2}\times\frac{1}{x_{2}^2}=\frac{1}{(x_{1}x_{2})^2} \] $(x_{1}x_{2})$ verilen denklemden $4$ çıkar. Demek ki kökler çarpımı $\frac{1}{(x_{1}x_{2})^2}=\frac{1}{16}$ dır. Kökler toplamı \[\frac{1}{x_{1}^2}+\frac{1}{x_{2}^2} = \frac{x_{2}^2+x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}\] Sadece $x_{1}+x_{2}$ ve $x_{1}x_{2}$ kullanarak ifade ettik. Bu değerleri zaten verilen denklemden bulabiliyoruz. $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2$ ve $x_{1}x_{2}=4$ demek ki yeni denklemin kökler toplamı \[\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}=\frac{-1}{4}\] Yeni denklemimiz $x^2 -Tx + Ç = 0$ dan $x^2 +\frac{x}{4} + \frac{1}{16}= 0$ çıkar. Son bir adım kaldı. Genellikle testlerde seçeneklerde katsayılar tam sayı olduğundan denklemi $16$ ile genişletiyoruz. \[16x^2 +4x + 1= 0\]

Alıştırmalar