Sabit Terim

Sabit terim, değişkene bağlı olmayan terimdir dolayısıyla değişkene bağlı olarak değeri değişemez ve sabit kalır. $P(x)=2x^3-4x^2+x-4$ olsun. Bu polinomda sabit terim $-4$ tür. Tabii ki bir polinom açık haliyle verildiğinde sabit terimi bulmak kolaydır. Örneğin aşağıdaki polinomu düşünelim: \[ P(x)=(x^2-4x-3)(x-2)^3 \] Bu ifadeyi hesaplayarak çıkacak olan sabit terimi bulmak zordur. Bunun yerine $x$ yerine $0$ koyabiliriz. Böylece $x$ i olan bütün terimler yok olur ve geriye sabit terim kalır. * Sabit terim için bir polinomda $x$ yerine $0$ konur. Yukarıda verilen polinomda sabit terim $P(0) = (-3)\cdot (-2)^3=24$ olur. Hemen belirtelim sabit terim için $P(0)$ bulmak şart değil, hangi polinomun sabit terimi aranıyorsa o polinomda $x$ yerine $0$ konur.

Örnek

$P(x-2)=x^2-3x+1$ ise $P(x+1)$ polinomunun sabit terimi nedir?

Çözüm

Bizden $P(x+1)$ polinomunun sabit terimi istenmektedir. Bu polinomda $x$ yerine $0$ koyarsak $P(1)$ i bulmamız gerektiği anlaşılır. İkinci aşamada $P(1)$ i bulmak için $P(x-2)$ yi kullanacağız. \[ P(x-2)=x^2-3x+1 \quad P(1) = ? \] $P(1)$ i, $x$ yerine $3$ koyarak bulabiliriz.

Katsayılar Toplamı

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için de, kolayca anlaşılabileceği gibi, $x$ yerine $1$ konur. Çünkü bu durumda $x$ in terime etkisi olamaz ve terimler katsayılarına eşit olurlar. * Katsayılar toplamı için bir polinomda $x$ yerine $1$ konur.

Örnek

$P(x) = 2x^2-4x-1$ ise $P(x-1)$ polinomunun katsayılar toplamı nedir?

Çözüm

Bu tip iki parçalı yapı polinom sorularında tipiktir. Bizden $P(x-1)$ in katsayılar toplamı istenmekte ancak $P(x)$ in açılımı verilmekte. Öncelikle hangi polinomun katsayılar toplamı bulunacaksa o polinomda $x$ yerine $1$ konur. Gene vurgulayalım amaç $P(1)$ i bulmak değil. Bizden $P(x-1)$ in katsayılar toplamı istendiğine göre bu polinomda $x$ yerine $1$ koyacağız yani $P(0)$ ı bulmalıyız. Bunu bulmak için de bize açılımı verilen $P(x)$ i kullanacağız. \[ P(x) = 2x^2 - 4x -1 \quad P(0) = ? \] Bu durumda $x$ yerine $0$ koymalıyız. \[ P(0) = -1\]

Çift ve Tek Dereceli Terimler Toplamı

Burada, konuya girişte zor olan ancak gene katsayılar toplamı ile ilgili bir bilgi daha var. Hemen anlaşılması gerekmiyor dolayısıyla burayı geçip tekrar dönebilirsiniz. Bir polinomun çift dereceli katsayılarının toplamını bulabilir miyiz? Bunu anlamak için örneğin şöyle bir polinom düşünelim: \[ 3x^4-2x^3+4x^2-x+5 \] Bu polinomun katsayılarını çıkaralım: \[ 3 \quad -2 \quad +4 \quad -1 \quad +5 \] Burada çift dereceli terimlerin katsayıları $3$, $4$ ve $5$ tir. Sabit terimin de çift dereceli bir terim olduğuna dikkat edelim çünkü derecesi $0$ dır ve çifttir. Sadece bunların kalması için önce $x$ yerine $1$ sonra da $-1$ koyup alt alta toplayacağız. \[ 3 \quad -2 \quad +4 \quad -1 \quad +5 \] \[ 3 \quad +2 \quad +4 \quad +1 \quad +5 \] $x=-1$ koyduğumuzda tek dereceli terimlerin katsayıları işaret değiştirirken çift dereceli terimlerinkiler aynı kaldı. Bunun sebebi $-1$ in çift üslerinin $1$, tek üslerinin ise $-1$ olmasıdır. İki satırı alt alta toplarsak tek dereceli terimlerin katsayıları yok olacak ve çift derecelileri de kendileri ile topladığımızdan iki katını elde edeceğiz. Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı için ne yapacağız? Bu durumda da alt satırı $-$ ile çarpıp toplamalıyız \[ 3 \quad -2 \quad +4 \quad -1 \quad +5 \] \[-( 3 \quad +2 \quad +4 \quad +1 \quad +5 )\] Bu durumda tek derecelilerin katsayıları eski işaretlerine döner ve çift derecelilerinkiler işaret değiştirir. Artık formül anlaşılmaktadır: * Bir $P(x)$ polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: \[ \frac{P(1) + P(-1)}{2} \] * Bir $P(x)$ polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı da \[ \frac{P(1) - P(-1)}{2} \]