Ters Fonksiyon Tanımı

Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun yaptığı tüm eşlemeleri ters çevirir. Örneğin $f(3)=5$ ise fonksiyon $3$ ü $5$ e eşliyordur. Bu durumda tersinin de $5$ i $3$ e eşlemesi gerekir. Eski değer kümesi şimdi tanım ve tanım kümesi de değer kümesi olur. Fonksiyonun tersi $f^{-1}$ sembolü ile gösterilir. \[ f:A\rightarrow B \text{ ise } f^{-1}:B \rightarrow A \] $f^{-1}$ in fonksiyon olabilmesi için $f$ in birebir-örten olması gerekir. Örten olmazsa görüntü kümesinde boşta eleman kalacaktır. Görüntü kümesi ters fonksiyonun tanım kümesi olacağından fonksiyon olmanın birinci şartı çiğnenmiş olur. Bire-bir olmazsa ters çevir- diğimizde tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde birden fazla elemana eşleşeceğinden fonksiyon olmanın ikinci şartı da ihlal edilecektir.

Ters Fonksiyon Bulunuşu: Doğrusal, İkinci derece, Köklü, Rasyonel ve Permütasyon

Bir fonksiyonun tersinin alınması için:
  1. $x$ yalnız bırakılır
  2. $x$ yerine $f^{-1}(x)$ ve $f(x)$ yerine $x$ yazılır.
* Doğrusal Fonksiyonların Tersi

Örnek

$f(x)=2x+3$ fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm

\[f(x) =2x+3 \Rightarrow \frac{f(x)-3}{2}= x \Rightarrow \frac{x-3}{2}= f^{-1}(x)\] İlk adımda $x$ yalnız bırakıldı. İkinci adımda da $x$ ve $f(x)$ yer değiştirdi ve $f$ yerine $f^{-1}$ yazıldı. Daha iyi anlamak için bir sayı değerine bakalım. \[f(x)=2x+3\Rightarrow f(3)=2.3+3=9\] $f$ fonksiyonu $3$'ü $9$'a eşliyor. Fonksiyonun tersinin de $9$'u $3$'e götürmesini bekliyoruz. \[f^{-1}(x){\frac{x-3}{2}}\Rightarrow f^{-1}(9)=\frac{9-3}{2}\Rightarrow f^{-1}(9)=3\]
* İkinci Derece Fonksiyonların Tersi $f(x)=ax^2+bx+c$ şeklindeki fonksiyonların tersi alınırken tamkare hale getirme yolu kullanılır. Önce $a$ nın $1$ olduğu durumu düşünelim:

Örnek

$f(x)=x^2-4x+7$ fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

İlk iki terim $x^2-4x=(x-2)^2-4$ tür. \begin{align*} y = x^2-4x+7 &= (x-2)^2-4+7\\ &= (x-2)^2+3 \\ y-3 &=(x-2)^2 \\ \sqrt{y-3} &=(x-2) \\ x &= \sqrt{y-3}+2 \\ f^{-1}(x) &=\sqrt{x-3}+2 \end{align*} $a$ nın $1$ olmadığı durumu $a$ parantezine alıp hallediyoruz.

Örnek

$f(x)=2x^2-3x+1$ fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

\begin{align*} y = 2x^2-3x+1 &= 2(x^2-\frac{3}{2}x +\frac{1}{2})\\ \frac{y}{2} &= x^2-\frac{3}{2}x +\frac{1}{2} \\ &= (x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16} + \frac{1}{2} \\ \frac{y}{2}+\frac{1}{16} &= (x-\frac{3}{4})^2\\ \sqrt{\frac{y}{2}+\frac{1}{16}} &= x-\frac{3}{4}\\ \sqrt{\frac{y}{2}+\frac{1}{16}}+\frac{3}{4} &= x\\ \end{align*} \[ f^{-1}(x)= \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{16}}+\frac{3}{4} \]
* Köklü Fonksiyonların Tersi Bu fonksiyonlarda ters alınırken köklü ifade yalnız bırakılıp iki tarafın karesi alınır.

Örnek

$f(x)={\sqrt{x}+2}$ fonksiyonunun tersini alınız.

Çözüm

\begin{align*}f(x)&={\sqrt{x}+2}\\ f(x)-2&=\sqrt{x} &\textit{köklü ifadeyi yalnız bıraktık} \\ (f(x)-2)^2&=(\sqrt{x})^2 & \textit{Her iki tarafın karesi}\\ x&=(f(x)-2)^2 & \textit{x'i yalnız bıraktık}\\ f^{-1}(x) &={(x-2)^2} & \textit{$x$ yerine $f^{-1}(x)$ ve $f(x)$ yerine $x$ koyduk} \end{align*}

Örnek

$f(x)={\frac{\sqrt{x-2}+5}{2}}$ fonksiyonunun tersini bulunuz

Çözüm

\begin{align*} 2f(x)&= \sqrt{x-2}+5 \\ 2f(x)-5 &= \sqrt{x-2}\\ [2f(x)-5 ] ^2 &= x-2\\ [2f(x)-5]^2+2 &= x \end{align*} Buradan $f^{-1}(x)=(2x-5)^2+2$ çıkar.
* $\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}$ şeklindeki fonksiyonların tersi Bu tip fonksiyonlarda $x$'i çekmek çok zor olduğu için şöyle bir formül çıkaracağız: \begin{align*} y &=\frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow\\ ycx+yd &= ax+b\\ ycx-ax &= b-yd \\ x(yc-a) &= b-yd \\ x &= \frac{-dy + b}{yc - a} \Rightarrow \\ f^{-1}(x) &= \frac{-dx+b}{cx-a} \end{align*} Formül şu: \[f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad\Rightarrow\qquad f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}\] Paydaki $x$'in katsayısı ile paydadaki sabit sayı hem yer hem de işaret değiştiriyor. Dikkat edeceğimiz bir şey hem pay hem de paydanın $mx+n$ şeklinde yazılmış olması.

Örnek

$f(x)=\displaystyle\frac{3x-8}{x-2}$ fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

Formülü uygularsak $f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{2x-8}{x-3}$

Örnek

$f(x)=\displaystyle\frac{3-2x}{x-2}$ fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

Payı düzeltmemiz gerektiğine dikkat edelim. Önce $f(x)=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-2}$ şekline getirip sonra formülü uygularsak \[f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{x+2}\]

Örnek

$f(x)=\displaystyle\frac{3}{2x-4}$ fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

Burada da payı $0.x+3$ kabul edeceğiz. \[f(x)=\frac{0.x+3}{2x-4}\qquad\Rightarrow\qquad f^{-1}(x)=\frac{4x+3}{2x}\]