Örnek

Çözüm

$A=\{ a,b,c \}$ fonksiyonun tanım kümesidir. $B=\{ 3,2,1,0,-1 \} $ fonksiyonun değer kümesidir. $a \in A $'nın $f$ altındaki görüntüsü (değeri) $f(a)=3$ $b \in A $'nın $f$ altındaki görüntüsü (değeri) $f(b)=2$ $c \in A $'nın $f$ altındaki görüntüsü (değeri) $f(c)=3$'tür. $A$'nın $f$ altındaki görüntü kümesi $f(A)=\{ 2,3 \} $'dir. $f$ bağıntısı $f= \{ (a,3), (b,2), (c,3) \} $'dir.

Örnek

$f= \{ ( x,y) : \, y=3x-4 \, ; \: x \in \mathbb{R}, \; y \in \mathbb{R} \} $ bağıntısı bir fonksiyon mudur?

Çözüm

$ \forall \: x \in \mathbb{R} $ için $ y=3x-4 \in \mathbb{R} $ olduğundan $f \;$ bağıntısı bir fonksiyondur.

Örnek

$f= \{ ( x,y) : \, |y|=x+1 \, ; \: x \in \mathbb{R}, \; y \in \mathbb{R} \} $ bağıntısı bir fonksiyon mudur?

Çözüm

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için bir elemanın sadece bir görüntüsü olması gerekir. $x$ yerine örneğin $0$ verdiğimizde $ |y|=1$ olur. Buradan da $y=1$ ve $y=-1$ değerleri çıkar, tanım kümesinden bir eleman değer kümesinden iki elemanla eşleşmek zorunda kalır.

Örnek

$ A= \{ -3,-2,-1,0,1 \} $ $ f: \, A \rightarrow \mathbb {R} $ $x \rightarrow y = f(x)= \displaystyle \frac {1+x} {x-2} $ fonksiyonu veriliyor. $f(A)$ görüntü kümesini ve $f \; $ bağıntısının elemanlarını yazınız.

Çözüm

$f(-3)= \frac {2} {5} , \; f(-2)= \frac {1} {4} , \; f(-1)=0 , \; f(0)= - \frac {1} {2} , \; f(1)=-2 $
$f(A)= \{ \frac {2} {5}, \frac {1} {4}, 0, - \frac {1} {2}, -2 \} $
$f= \{ (-3, \frac {2} {5}), ( -2, \frac {1} {4}) , (-1, 0 ) , (0, - \frac {1} {2}), ( 1, -2) \} $

Örnek

$ f: \, \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, \; f(4)=5, \; f(x+2)=x \, f(x) -3 $ olduğuna göre $f(8)$ kaçtır?

Çözüm

$f(6)= f(4+2)=4 \, f(4) -3 = 4 \cdot 5 -3=17 $ $f(8)= f(6+2)=6 \, f(6) -3 = 6 \cdot 17 -3=99 $

Örnek

$ f(x)= 4 + f(x-1) $ ve $f(1)=3 $ ise $f(15)$ kaçtır?

Çözüm

$f(x)=4+f(x-1) \Rightarrow f(x)-f(x-1)=4 $ $x=2 \Rightarrow f(2)-f(1)=4$ $x=3 \Rightarrow f(3)-f(2)=4$ $x=4 \Rightarrow f(4)-f(3)=4$ $ \vdots $ $x=15 \Rightarrow f(15)-f(14)=4$ $f(15)-f(1)=14 \cdot 4=56$ $f(15)=56+3=59$

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \; f(3x-4)= \sqrt {x^3-5}+x $ ise $f(5)$ kaçtır?

Çözüm

$3x-4=5 \Rightarrow x=3 \Rightarrow f(5)= \sqrt {3^3-5}+3= \sqrt{16}+3=7$

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(2x+2)=\begin{cases} 3x+4, \quad x \lt 2 \\ x^3-2x, \quad x\geq 2 \end{cases} $ Yukarıdakilere göre $f(6)+f(-4)$ kaçtır?

Çözüm

$2x+2=6 \Rightarrow x=2 , \quad f(2\cdot 2+2)= f(6)=2^3-2\cdot 2=4$ $2x+2=-4 \Rightarrow x=-3 \quad f(2\cdot (-3)+2)= f(-4)=3\cdot(-3)+4=-5$ f(6)+f(-4)=4+(-5)=-1$

Örnek

$ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x,y)=min(x^2-1, \; xy+1) $ $ g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x,y)=max(x+2y+1, \; 2x-y)$ yukarıdaki fonksiyonlara göre $2f(-3,-2)+g(3,2)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm

\begin{align*} f(-3,-2) &= min((-3)^2-1, \; (-3)\cdot (-2)+1) \\ &= min(8, \, 7)=7 \\ & \\ g(3,2) &= max(3+2\cdot 2+1, \; 2\cdot 2-2) \\ &= max(8, \, 2) =8 \\ \end{align*} $2f(-3,-2)+g(3,2)=2\cdot 7+8=22$

Örnek

$ f(x)=x^2+1$ fonksiyonu birebir bir fonksiyon mudur?

Çözüm

$f(x)$ fonksiyonu birebir değildir çünkü görüntü kümesindeki her bir eleman tanım kümesindeki tek bir $x$ ile eşleşmez. Örneğin $x$ yerine $2$ veya $-2$ , $f(2)=5 \quad $ $ f(-2)=5 $ , koyduğumuzda fonksiyondan çıkan sonuç $5$ olur, tanım kümemizdeki iki değerin de değer kümesindeki görüntüsü aynıdır, bu yüzden birebir değildir.

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=(4a+4)x^2+(b-3)x+3a-2b$ sabit bir fonksiyon olduğuna göre, $f(5)$ kaçtır?

Çözüm

$f(x)$ fonksiyonu sabit bir fonksiyondur, yani tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde eşleştiği tek bir eleman olmalıdır. Bu durumda $x$ yerine ne koyarsak koyalım çıkan sonucun değişmemesi lazım olduğuna göre $x$'li tüm ifadelerin katsayısı $0$ olmalıdır. $x$'li ifadelerin katsayıları \begin{align*} 4a+4&=0 \\ a &=-1 \\ & \\ b-3 &=0 \\ b &=3 \\ \end{align*} sonucuna ulaşırız. \begin{align*} f(x)&=0 \cdot x^2+ 0 \cdot x+3\cdot (-1)-2\cdot 3 \\ f(x)&= -9 \\ \end{align*} Bu durumda $x$ yerine ne koyarsak koyalım alacağımız sonuç aynı olur ve $f(5)=-9$'dur.

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=(3a+8)x+2a-3b$ birim fonksiyon olduğuna göre, $a\cdot b$ kaçtır?

Çözüm

$f(x)$ fonksiyonunun birim (özdeş)fonksiyon olması için $f(x)=x$ olmalıdır, bu durumda \begin{align*} 3a+8&=1\\ a &= - \frac {7} {3}\\ & \\ 2a-3b&=0 \\ 2\cdot ( -\frac {7}{3} )-3b &=0 \\ b &= - \frac {14}{9} \\ & \\ a\cdot b&= (- \frac {7} {3} ) \cdot (- \frac {14}{9} ) \\ a\cdot b&= \frac {98}{27} \\ \end{align*} sonucuna ulaşırız.

Örnek

$ f $ doğrusal bir fonksiyondur. \begin{align*} f(3)&=8\\ f(-2) &=-7\\ & \\ \end{align*} olduğuna göre, $f(5)$ kaçtır?

Çözüm

Bir fonksiyonunun doğrusal olması için, fonksiyonun kartezyen düzlemdeki grafiğinin bir doğru oluşturması gerekir. Bunun için fonksiyon $f(x)=ax+b$ şeklinde olmalıdır. \begin{align*} f(3)=8 &\rightarrow 3a+b=8 \\ f(-2)=-7 &\rightarrow -2a+b=-7 \\ \text {üstteki ifadeden alttaki ifadeyi çıkarırsak,} \\ 5a&=15 \Rightarrow a=3 \\ 3\cdot 3+b &=8 \\ b&=-1 \\ \end{align*} sonucuna ulaşırız. $f(x)=3x-1$ ve $f(5)=14$

Örnek

$ f $ doğrusal bir fonksiyondur. $f(x+3)+f(4x+5)=10x$ olduğuna göre, $f(x)$ nedir?

Çözüm

$f(x)$ doğrusal ise $f(x)=ax+b$ şeklinde olmalıdır. \begin{align*} f(x+3)&=a(x+3)+b \quad & f(4x+5)&=a(4x+5)+b \\ &=ax+3a+b \quad & &=4ax+5a+b\\ & \\ \end{align*} \begin{align*} f(x+3)+f(4x+5) &=10x \\ ax+3a+b+4ax+5a+b &=10x \\ 5ax+8a+2b&=10x \\ \end{align*} \begin{align*} 5ax &=10x \quad & 8a+2b&=0 \\ a &=2 \quad & 8\cdot 2+2b&=0 \\ & \quad & b&=-8 \\ \end{align*} sonucuna ulaşırız. Böylece $f(x)=2x-8$ olur.

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=3x^2-3$ fonksiyonu çift fonksiyon mudur?

Çözüm

$f(x)=3x^2-3$ olduğuna göre, \begin{align*} f(-x)&=3(-x)^2-3 \\ &=3x^2-3 \\ &=f(x) \\ \end{align*} $f(-x)=f(x)$ olduğundan $f$ çift fonksiyondur.

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=5x^3-x$ fonksiyonu tek fonksiyon mudur?

Çözüm

$f(x)=5x^3-x$ olduğuna göre, \begin{align*} f(-x)&=5(-x)^3-(-x) \\ &=-5x^3+x \\ &=-f(x) \\ \end{align*} $f(-x)=-f(x)$ olduğundan $f$ tek fonksiyondur. Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması demek çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır, çift olması için de tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.

Örnek

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=(4a+8)x^3+(2b-2)x^2+(3b-6)x+a-2b$ fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre $f(2)$ değeri nedir?

Çözüm

$f(x)=(4a+8)x^3+(2b-2)x^2+(3b-6)x+a-2b$ çift olması için sadece çift dereceli terimlerden oluşması gerekir. Yani tek dereceli terimlerin katsayıları $0$ olmalıdır. \begin{align*} 4a+8&=0 & 3b-6&=0 \\ a&=-2 & b&=2 \\ \end{align*} \begin{align*} f(x) &=0\cdot x^3+2x^2+0 \cdot x-6 \\ f(x) &=2x^2-6 \\ \end{align*} \begin{align*} f(2) &=2\cdot 2^2-6 \\ &=2 \\ \end{align*}

Örnek

$A= \{ 0,1,2,3,4,5 \}$ $B= \{ -2,-1,0,1,4,7 \}$ kümeleri veriliyor. \begin{align*} f &: \, A \rightarrow \mathbb {R} & f(x)&=x+2 \\ g &: \, B \rightarrow \mathbb {R} & g(x)&=x^2-5 \\ \end{align*} olduğuna göre, $f+g$ toplam fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

Çözüm

$f+g$ toplam fonksiyonu $A\cap B= \{ 0,1,4 \} $ kümesinde tanımlıdır. Bu yüzden $0$, $1$ ve $4$'ün görüntülerini bulmalıyız. \begin{align*} (f+g)(0) &= f(0)+g(0) \\ &=0+2+0-5 \\ &=-3 \\ \end{align*} \begin{align*} (f+g)(1) &= f(1)+g(1) \\ &=1+2+1-5 \\ &=-1 \\ \end{align*} \begin{align*} (f+g)(4) &= f(4)+g(4) \\ &=4+2+16-5 \\ &=17 \\ \end{align*} Bu durumda $ f+g$ toplam fonksiyonunun görüntü kümesi $ \{-3,-1,17 \} $ olur.

Örnek

$A= \{ 0,1,2,3,4,5 \}$ $B= \{ -2,-1,0,1,4,7 \}$ kümeleri veriliyor. \begin{align*} f &: \, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb {R} & f(x)&=x^3+3 \\ g &: \, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb {R} & g(x)&=3x+2 \\ \end{align*} olduğuna göre, $(2g+f\cdot g-3)(2)$ ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

\begin{align*} g(x)&=3x+2 & g(2)&=3\cdot 2+2 \\ & & &=8\\ \end{align*} \begin{align*} f(x) &= x^3+3 & f(2)&=2^3+3 \\ & & &=11 \\ \end{align*} \begin{align*} (2g+f\cdot g-3)(2)&=2g(2)+f(2)\cdot g(2)-3 \\ &=2\cdot 8+11\cdot 8-3 \\ &=101 \end{align*}

Örnek

$f= \{ (1,-2), (2,3), (4,0),(8,5) \}$ olduğuna göre, $f^{-1}(3)+f(4)-f^{-1}(5)$ ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

\begin{align*} f&= \{ (1,-2), (2,3), (4,0),(8,5) \} \\ f(2)&=3 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ise } & f^{-1}(3)&=2 \\ f(4)&=0 \\ f(8)&=5 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ise } & f^{-1}(5)&=8 \\ \end{align*} Bu durumda \begin{align*} f^{-1}(3)+f(4)-f^{-1}(5)&=2+0-8 \\ &=-6 \\ \end{align*}

Örnek

$f(2x+3)=3x-4$ olduğuna göre, $f(1)+f^{-1}(5)$ ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

\begin{align*} 2x+3&=1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow & x&=-1 \\ x&=-1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow & f(-1)&=3 \cdot (-1)-4=-7 \\ \end{align*} \begin{align*} f(2x+3)&=3x-4 \rightarrow & f^{-1}(3x-4)&=2x+3 \\ & & 3x-4&=5 \rightarrow x=3 \\ x&=3 & \rightarrow f^{-1}(5)&=2\cdot 3+3=9 \\ \end{align*} Bu durumda \begin{align*} f(1)+f^{-1}(5)&=-7+9 \\ &=2\\ \end{align*}