Örnek

$ f: \, \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $ $f(x)=2x+5$ fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

Ters fonksiyonu bulmak için $y=2x+5$ fonksiyonunda $x$ yalnız bırakılır. \begin{align*} y&=2x+4 \\ y-4&=2x \\ x&=\frac {y-4}{2} \\ \end{align*} Sonra $x$ ile $y$'nin yerleri değiştirilir ve \[ \frac {x-4}{2} \] bulunur. Ters fonksiyonumuz, \[ f^{-1}(x)=\frac {x-4}{2} \] olur.

Örnek

$ f: \, \mathbb {R} – \{ 0 \} \rightarrow \mathbb {R} – \displaystyle \{ \frac {1}{5} \}$ \[ f(x)=\frac{5+x}{5x} \] fonksiyonunun tersi nedir?

Çözüm

\begin{align*} y&=\frac{5+x}{5x} \\ y&=\frac {5}{5x} + \frac{x}{5x}\\ x&=\frac {1}{x} +\frac {1}{5} \\ \frac {1}{x}&= -y+ \frac {1}{5} \\ x&=\frac {1-5y}{5} \\ \end{align*} Sonra $x$ ile $y$'nin yerleri değiştirilir ve \[ y=\frac {1-5x}{5} \] bulunur. Ters fonksiyonumuz, \[ f^{-1}(x)=\frac {1-5x}{5} \] olur.

Örnek

$ f: \, \mathbb {R} – \displaystyle \{ -\frac{5}{2} \} \rightarrow \mathbb {R} – \displaystyle \{ -\frac {3}{2} \}$ ve $f(x)= \displaystyle \frac{4-3x}{2x+5}$ fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?

Çözüm

$ \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}$ şeklindeki fonksiyonların tersinin $ f^{-1}(x)= \displaystyle \frac{-dx+b}{cx-a}$ şeklinde kolayca hesaplanabildiğini hatırlayalım. \begin{align*} f(x)&= \frac{4-3x}{2x+5} \\ f(x)&= \frac{-3x+4}{2x+5} \\ f^{-1}(x)&= \frac{-5x+4}{2x+3} \\ \end{align*}

Örnek

$ f: \, \mathbb {R} – \displaystyle \{ a \} \rightarrow \mathbb {R} – \displaystyle \{ b \}$ ve $f(x)= \displaystyle \frac{4x+2}{3x-5}$ fonksiyonunu birebir ve örten olduğuna göre, $a\cdot b$ kaçtır?

Çözüm

$f(x)= \displaystyle \frac{4x+2}{3x-5}$ fonksiyonunda paydayı $0$ yapan $ \displaystyle \frac {5}{3}$ değeri için $x= \displaystyle \frac {5}{3}$ değeri $ ( 3x-5=0 \text { ise } x= \displaystyle \frac {5}{3} ) $ tanımsız olduğundan fonksiyonumuzun tanım kümesi $ f: \, \mathbb {R} – \displaystyle \{ \frac {5}{3} \} $'tür. Bu durumda $a= \displaystyle \frac {5}{3}$ olur. $ f^{-1}(x)= \displaystyle \frac{5x+2}{3x-4} $ ters fonksiyonunda da paydayı $0$ yapan $x= \displaystyle \frac {4}{3} $ değeri için $ ( 3x-4=0 \text { ise } x= \displaystyle \frac {4}{3} ) $ tanımsız olduğundan, görüntü kümemiz de $ \mathbb {R} – \displaystyle \{ \frac {4}{3} \}$'tür. Bu durumda $b= \displaystyle \frac {4}{3}$ olur. \begin{align*} a\cdot b &= \frac {5}{3} \cdot \frac {4}{3} \\ &=\frac {20}{9} \end{align*}

Örnek

$ f:(-\infty, 4) \rightarrow \mathbb {R} – \{ -3 \} $ $f(x)=x^2-8x+13$ fonksiyonun tersi nedir?

Çözüm

II. dereceden bir fonksiyonunun tersini bulmak için tamkare yöntemi uygulamalıyız. \[ x^2-8x=(x-4)^2-16 \]'ya eşittir. Bu durumda fonksiyonumuzda $x^2-8x$ yerine $(x-4)^2-16$ ifadesini kullanabiliriz. \begin{align*} y=x^2-8x+13 \text{ ise } y&=(x-4)^2-16+13 \\ y&=(x-4)^2-3 \\ y+3&=(x-4)^2 \\ \sqrt{y+3} &= \sqrt{(x-4)^2}\\ \sqrt{y+3} &= |x-4| \\ \end{align*} Fonksiyonumuzun tanım kümesi $(-\infty,4) $ olduğu için $x\lt 4$'tür. Bu durumda $x\lt 4$ için $|x-4|=4-x$'tir. \begin{align*} \sqrt{y+3} &= 4-x \\ x&=4- \sqrt{y+3} \end{align*} $x$ ile $y$'nin yerlerini değiştirirsek $f^{-1}(x)=4-\sqrt{x+3} $ olur.

Örnek

$ f: \, \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $ $f(x)= \sqrt[3]{x-5}$ fonksiyonun tersi nedir?

Çözüm

\begin{align*} f(x)= \sqrt[3]{x-5} \rightarrow y&=\sqrt[3]{2x-3} \\ y^3&=x-5 \\ x&=y^3+5 \\ \end{align*} Bu durumda $f^{-1}(x)=x^3+5$'tür.