Tanım ve örnekler

Aritmetik Dizi

Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit farka ortak fark denir.
Örneğin $1,5,9,13, \cdots $ dizisi aritmetik bir dizidir. Aritmetik bir dizide herhangi bir terimden bir sonrakine geçmek için ortak fark eklenir. Bu fark negatif de olabilir. Yani aritmetik dizinin terimleri azalabilir. $5,-5,-15,\cdots $ dizisinde ilk terim $5$ ve ortak fark da $-10$ dur.

Örnek

$ \left(1,a,b,16 \right) $ dizisi bir aritmetik dizi ise $a + b$ nedir?

Çözüm

Aritmetik dizi ise ardışık terimler arası fark aynıdır. Ortak fark $r$ olsun. Her terim bir öncekine $r$ eklenerek bulunur. $1$ den $16$ ya geçebilmek için $3r$ eklenmiş olmalıdır. $16 - 1 = 3r \to r = 5 $. $a= 6$, $b= 11$ dir.
$ \left(2,x,y,z,5 \right) $ dizisi aritmetik dizi ise $x,y$ ve $z$ nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$2$ den $5$ e dört terim atlamak gerektiği için $5-2= 4r$ dir. $r = \frac{3}{4}$ \[ x = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} \quad y = x + \frac{3}{4} = \frac{7}{2} \quad z = y + \frac{3}{4} = \frac{17}{4} \]

Aritmetik dizinin genel terimi

Aritmetik dizinin genel terimi yinelemeli şekilde verilebilir. Ardışık iki terim arası fark $r$ olsun. Bu durumda \[ a_n - a_{n-1} = r \] Ancak genel terim böyle verilirse herhangi bir terimin de verilmesi gerekir. İki terim arası farkı biliyorsak bir terimden diğerine geçebiliriz.

Örnek

$a_n - a_{n-1} = 2$ ve $a_1 = 5$ ise $a_{10}$ nedir?

Çözüm

$a_1$ e $2$ ekleyince $a_2$ yi, $a_2$ ye $2$ ekleyince $a_3$ ü bulacağız. $a_1$ den $a_3$ e gidebilmek için iki tane $2$ eklemeliyiz. $a_{10}$ a gitmek için de $9$ tane $2$ eklemeliyiz. Bu da bizi örnekten sonra göreceğimiz açık formül e götürmektedir. $a_{10} = a_1 + 9 r = 5 + 9 \cdot 2 = 23$

Aritmetik dizinin açık formülü

İlk terim $a_1$ ortak fark $r$ ve $n.$ terim arasında şöyle bir bağıntı vardır: \[ a_n = a_1 + (n-1) r \] İkinci terim için $1$ tane $r$, üçüncü için $2$ tane $r$ eklediğimizden $n$ inci için de $(n-1)$ tane $r$ eklemeliyiz.

Örnek

$a_3 = 4$ ve $a_5 = -6$ ise $a_{9}$ nedir?

Çözüm

İki terim verilmişse aritmetik dizinin tüm terimlerine ulaşabiliriz. $a_3$ ten $a_5$ e ulaşmak için $2$ tane $r$ eklenmelidir. $a_5 - a_3 = -6-4 = 2r $ ve ortak fark $-5$. $a_9$ soruluyor. $a_5$ ten $a_9$ a gidebilmek için $4$ tane $r$ eklemeliyiz: $a_9 = a_5 + 4r = -6 + 4 \cdot -5 = -26$. Açık formüle göre verilen terimleri $a_1$ ve ortak fark $r$ ye indirgeyebiliriz. Soruyu böyle de çözelim: $a_3 = a_1 + 2r$ $a_5 = a_1 + 4r$ İki terimin farkı $a_5 - a_3 = 2r$ olduğu daha net görülüyor. Daha sonra ortak farkı herhangi birinde yerine koyarak $a_1$ i bulalım: \[ a_3 = a_1 + 2r \to 4 = a_1 + 2 \cdot -5 \to a_1 = 14 \] Artık $a_1$ ve ortak fark $r$ elimizde olduğundan tüm terimlere ulaşabiliriz: \[ a_9 = a_1 + 8r = 14 + 8 \cdot -5 = - 26 \]

Örnek zorluk: 2/5

(-2,a,b,6) dizisi bir aritmetik dizi olduğuna göre $a+b$ toplamı nedir?

Çözüm

$-2$ den $6$ ya gidebilmek için $3r$ eklenmiş olmalıdır. $a_1= -2$ ve $a_4= 6$. $a_4 = a_1 + 3r$ olduğundan farklarının $3r$ olduğu görülüyor. $3r = 6-(-2) \to r = \frac{8}{3}$ $a_2 = -2 + r = -2 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3} $ $a_3 = -2 + 2r = -2 + 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ ve $a+b$ toplamı $\frac{2}{3} + \frac{10}{3} = 4$.
(3,a,b,c,-2) dizisi aritmetik bir dizi ise $a + b + c$ toplamı nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$3$ ten $-2$ ye ulaşmak için $4$ adım gitmeliyiz, yani $4r$ eklenmiş: $-2-3 = 4r \to r = - \frac{5}{4}$. $a+b+c$ yi bunları tek tek bulmadan da bulabiliriz. Bunlar sırasıyla $a_2, a_3$ ve $a_4$ tür ve herhangi bir terimi $a_1$ ve $r$ kullanarak yazabiliyoruz: $a_2 = a_1 + r$ $a_3 = a_1 + 2r$ $a_4 = a_! + 3r$ olduğundan \[ a_2 + a_3 + a_4 = 3a_1 + 6r = 3 \cdot 3 + 6 \cdot - \frac{5}{4} = - \frac{9}{2} \]
  • Açık formülden ve çözülen örneklerden anlaşıldığı gibi $a_m$ ve $a_n$ arasındaki fark $a_m - a_n = (m-n) r$ dir. Örneğin $a_4= 5$ ve $a_{11} = 40$ verilmişse $a_{11} - a_4 = 7r = 35 $ <
  • Açık formülden çıkarılabilecek ikinci önemli nokta iki terimin ortası toplamlarının yarısıdır. Örneğin $a_3$ ve $a_7$ nin ortası $a_5$ tir (altindisleri toplayıp ikiye böldük) ve $a_5 = \frac{a_3 + a_7}{2}$. Çünkü: $a_3 = a_1 + 2r$ ve $a_7 = a_1 + 6r$. \[ \frac{a_3 + a_7}{2} = \frac{2a_1 + 8r}{2} = a_1 + 4r \] $a_1 + 4r $ zaten açık formüle göre $a_5$ tir.

Örnek

$a_6-a_2 = 8 $ ve $a_9 = 7$ ise $a_{15} $ nedir?

Çözüm

$a_6 - a_2 = 4r = 8 \to r = 2$. $a_9 = a_1 + 8r \to 7 = a_1 + 16 \to a_1 = -9 $ $a_{15} = a_1 + 14r \to -9 + 28 = 19 $
$a_4-a_1 = -3$ ve $a_5 = 3$ ise $a_{10}$ nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$a_4 - a_1 = 3r = -3 \to r = -1$ $a_{10} = a_5 + 5r = 3 + -5 = -2 $
$a_4 = 4$ ve $a_{14} = 8$ ise $a_9$ nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
Önceki örnekte olduğu gibi iki terimin farkından $r$ bulunabilir. Ancak $a_4$ ve $a_{14}$ ün tam ortasında $a_9$ bulundğundan $a_9 = \frac{4 + 8 }{2 } = 6$

İlk $n$ terimin toplamı

Farkın sabit olduğu tüm sayı dizilerinde ilk $n$ terimin toplamı şöyle ifade edilebilir: \[ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] Formül toplam sembolü örneklerinde anlatılan $\frac{ \text{ ilk terim + son terim} }{2} \cdot \text{ terim sayisi } $ nın aynısıdır. $a_n = a_1 + (n-1) r$ olduğundan aynı formülü $a_1,r$ ve $n$ içerecek şekilde de yazabiliriz. Ancak burada bunu yapmayacağız. Formül bu haliyle çok basit. İlk ve son terimi toplayıp ikiye böl ( ortalamalarını bul) ve terim sayısı ile çarp. Ancak $a_n = a_1 + (n-1) r$ eşitliğini de aklımızda tutuyoruz.

Örnek zorluk: 2/5

İlk terimi $-2$ ve ortak farkı $3$ olan bir aritmetik dizinin ilk $20$ teriminin toplamı kaçtır?

Çözüm

Son terim $a_{20} = a_1 + 19 r = -2 + 57 = 55 $. Terim sayısı $20$. \[ a_1 + a_2 + \cdots a_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = 530 \]
$a_1 = 3$ ve ortak fark $-1$ ise ilk $10$ terim toplamı nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$a_{10} = a_1 + 9r = 3 + -9 = -6 $ ve toplam $\frac{3+-6}{2} \cdot 10 = -15$

Örnek

Bir aritmetik dizide $a_3 = 4 $ ve $a_{11} = 8$ ise ilk $10$ terim toplamı nedir?

Çözüm

İki terim biliyorsak aritmetik diziyi biliyoruz. $a_{11} - a_3 = 8r$. Verilenlere göre $r= \frac{1}{2}$. $a_1$ ve $a_{10}$ u bulalım: $a_3 = a_1 + 2r \to 4 = a_1 + 1 \to a_1 = 3$. $a_{10} = a_1 + 9r = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2} $ İlk $10$ terim toplamı \[ \frac{a_1 + a_{10} }{2} \cdot 10 = \frac{105}{2} \]

Örnek zorluk: 3/5

Ortak farkı $3$ olan bir aritmetik dizinin ilk $7$ terim toplamı $119$ ise ilk terimi nedir?

Çözüm

İlk $7$ terim toplamı $\frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7$ dir. Ancak $a_7 = a_1 + 6r$ olduğundan toplamı sadece $a_1$ ve $r$ cinsinden ifade edebiliriz. \[ \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7 = \frac{2a_1 + 6r}{2} \cdot 7 = \frac{2a_1 + 18}{2} \cdot 7 = 119 \] $a_1 = 8$ olur.