Dizi tanımı


Dizi, nesnelerin sıralı bir listesidir.

Örneğin şöyle bir sayı sırası $ 1,2,3,4,5$ bir dizidir. Bu listedeki her bir sayı dizinin elemanı ya da terimidir . Dizileri adlandırırken genellikle $a,b,c$ gibi küçük harfler kullanılır. Yukarıdaki dizinin adı $a$ ise birinci terim $a_1$, ikinci terim $a_2$ ve herhangi bir $n.$ terim de $a_n $ sembolü ile gösterilir. Dikkat edersek diziye küme demedik ve liste gibi gayet gevşek bir kavram kullandık. Bunun nedeni öncelikle kümenin elemanlarının sıralı olmaması ancak dizininkilerin sıralı olmasıdır.
$ \{ 1,2,3,4,5 \}$ ile $\{ 2,1,3,4,5 \} $ kümeleri aynıdır. Diziye sıralı bir kümedir de demedik. Çünkü bir dizide elemanlar tekrar edebilir. Hatta dizi aynı elemandan da oluşmuş olabilir:
\[ 1,1,1,1 \qquad 1,2,1,2 \]
Yukarıdaki iki liste de bir dizidir. Dizide sıra önemli olduğundan bu sırayı sağlayan bir kural ya da kurallar kümesi de olmalıdır. Genellikle dizilerin tüm terimlerinin değeri değil, bir veya birkaç terim ve diğer terimleri bulmak için gereken kural verilir ya da kural zaten verilen birkaç terimden sezilir. Örneğin şu iki dizide kural çok açık:
\[ 1,1,1, \cdots 1 \quad 2,4,6,\cdots \]

Dizi örnekleri


Daha sonra ayrıntılı göreceğimiz aritmetik dizi lerde her terim kendinden önceki terime belli bir fark eklenerek bulunur: $3,7,11,15, \cdots $ dizisi aritmetik bir dizidir. Gene ayrıntılı göreceğimiz geometrik dizi de her terim kendinden önceki terimin belli bir çarpan la çarpılmasıyla bulunur. $2,6,18,\cdots $ dizisi çarpanın $3$ olduğu geometrik bir dizidir. $-1,2,-3,4,-5,6 \cdots $ dizisinde kural çok bellidir ancak bu kuralın matematiksel ifadesini bulmayı biraz ilerde yapacağız. Gene ünlü bir dizi fibonacci dizisidir. Bu dizide ilk iki terim $1$ ve bundan sonraki terimler kendinden önceki iki terimin toplamıdır. $1,1,2,3,5,8,13,21 \cdots $

Dizi bir fonksiyondur


Görüldüğü gibi verdiğimiz örneklerde dizi elemanlarına bir sınırlama getirmedik. Bir dizi sonlu sayıda elemana sahip olabileceği gibi sonsuz sayıda elemana da sahip olabilir. Bunları tanımlamadan önce diziyi bir fonksiyon olarak düşünmeye başlayalım. Matematikte dizi elemanlarının sırasının belli bir kural ile verildiği listelerle ilgileneceğimizden diziyi bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Terim sayısını girdi ve terimin değerini de çıktı olarak düşünürsek dizi pozitif tamsayılardan terimlerin değerlerine bir fonksiyon olarak düşünülebilir. $a_2$ gibi bir terimde girdi $2$ ve çıktı da $a_2$ teriminin kendisidir. Böylece sıralama görevini de pozitif tamsayılara yaptırmış oluyoruz. Örneğin $3,5,7,9$ dizisini $\{ 1,2,3,4 \}$ kümesinden $\{ 3,5,7,9\} $ kümesine $f(1) = 3$, $f(2) = 5$ vs... şeklinde bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Ancak $f(1)$ yerine dizilere özel bir şekilde $a_1$ kullanıyoruz.

Sonlu dizi

$n \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere tanım kümesi $\{ 1,2,3 \cdots n \}$ olan diziye sonlu dizi denir.

Sonsuz dizi

Tanım kümesi $Z^+$ olan diziye sonsuz dizi denir.

Genel terim

Dizi terimlerini tek tek yazmamak ve dizinin kuralını da matematik olarak ifade edebilmek için dizinin herhangi bir $n.$ teriminin ifadesi yazılır. Bu ifadeye dizinin genel terimi denir. Genel terimi verilen terimlerden biz bulmadan önce verilen genel terimden terimler bulmaya çalışalım. $a_n = 2n$ ifadesinde $n$ yerine pozitif tamsayılar kümesinden bir sayı yazarak dizinin istediğimiz terimine erişebiliriz. İfade çok açıkça çift sayıları verir.
$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, vs...
$a_n = (-1)^n \cdot n $ dizisinin terimlerine bakalım.
$a_1=-1$, $a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$ ve $a_3 = -3$
$a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2^n$ dizisinin terimleri: $a_1= 2$, $a_2 = -4$, $a_3 = -8$, $a_4 = -16$

$a_n = -2 + 5n $ dizisinin ilk üç terimi nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$3,8,13$

$a_n = \frac{(-1)^n}{3^{n-1}}$ dizisinin ilk üç terimi nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$-1,1/3,-1/9 $

Artık $-1,2,-3,4 \cdots $ dizisinin de genel terimini yazabiliriz. Her terimde işaret değişirse $-1^{n}$ ya da duruma göre $-1^{n+1}$ gibi bir çarpan kullanılır.
\[ a_n = -1^{n} \cdot n \]

$2,-6,18,-54 \cdots $ dizisi için de bir genel terim düşünelim. İşaret önce $+$ sonra $-$ olduğundan $-1^{n+1}$ yapabiliriz. Böylece $n=1$ için $+1$ olur. Dizinin terimleri bir öncekinin $3$ katı olduğundan birinci terimi $n-1$ kere $3$ le çarpmalıyız.
\[ a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2 \cdot 3^{n-1} \]

Örnek


$ -1,8,-27,64 \cdots $ dizisi için bir genel terim bulunuz.

Çözüm


İşaret her terimde değişiyorsa ve ilk terim negatif ise $(-1)^n$ çarpanının iş göreceğini yukarıda gördük. Terimlerin işaretlerini düşünmezsek her terim bir küp: $1 = 1^3$, $ 8 = 2^3$ ve $27 = 3^3$ gibi. Genel terim $(-1)^n n^3 $.

$2,4,12,48,240 \cdots $ dizisi için bir genel terim bulunuz.
+ cevabı göster - cevabı gizle
$a_n = 2 \cdot n! $

Yinelemeli Formül


Bazen $n.$ terimin ifadesi $a_n$ sadece $n$ e bağlı verilmez. Kendinden önceki terim veya terimlere bağlı olarak verilir. Bu tip bir genel terim formülüne yinelemeli formül diyeceğiz. Örneğin $a_n = a_{n-1} + 2$ formülünü düşünelim. Burada $n-1$ inci terime $2$ ekleyince $n$ inci terimi buluyoruz. Böyle bir dizide terimleri bulabilmek için dizinin herhangi bir teriminin de verilmiş olması gerekir. Burada $a_1 = 5$ verilmiş olsun. Bu durumda:
\[ a_n = a_{n-1} + 2 \to a_2 = a_1 + 2 \to a_2 = 7 \]

$a_n = n a_{n-1}$ ve $a_1 = 1 $ verilsin. $a_2 = 2 a_1 = 2$ ve $a_3 = 3 a_2 = 6$ ve $a_4 = 4 a_3 = 24$.
Hem $a_n = a_{n-1} + 2, \quad a_1 = 5 $ hem de $a_n = na_{n-1}, \quad a_1 = 1$ için sadece $n$ e bağlı bir formül görebildiniz mi?. Birinci dizi için $a_n = 5 + (n-1) 2 $, ikinci dizi ise sadece $a_n = n!$.

$a_n = a_{n-1} - n $ ve $a_1 = -2$ için $a_2,a_3,a_4$ nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$-4,-7,-11$

$a_n = 3 a_{n-1} - 2a_{n-2} $ ve $a_1 = 1, a_2= 3$ için $a_3,a_4$ nedir?
+ cevabı göster - cevabı gizle
$7,17$

Dizi çeşitleri


Artan, azalan,sabit gibi kavramlar fonksiyonlarda olduğu gibi dizilerde de önemlidir. Bunlarla ilgili bir kaç tanım verip ilgili örneklere bakalım.

Sabit Dizi

Bir dizinin tüm terimleri birbirine eşitse bu dizi sabit dizi dir.

$\forall n \in \mathbb{N} $ olmak üzere genel terimi $ a_n $ olan bir dizi için

Monoton Artan Dizi

$a_n \lt a_{n+1}$ ise dizi monoton artan dır.

Monoton Azalan Dizi

$a_n \gt a_{n+1}$ ise dizi monoton azalan dır.

Artmayan dizi

$a_n \geq a_{n+1}$ ise dizi artmayan dizidir.

Azalmayan dizi

$a_n \leq a_{n+1}$ ise dizi azalmayan dizidir.

Örnek


$a_n = \frac{2n+1}{n + 2}$ dizisinin monoton artan olduğunu gösteriniz.

Çözüm


Önce ilk bir kaç terime bakalım: $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{5}{4}$, $a_3 = \frac{7}{5}$.
Terimler büyüyor, dizi artan bir dizi gibi görünüyor. Ancak genel bir ispat için herhangi bir $n.$ terim ve bunun ardışığı olan $n+1$ inci terimi karşılaştırmalıyız. Tanıma göre $ a_n \lt a_{n+1} $ ise yani sonraki terim ilkinden büyükse dizi artan dır. $a_{n+1} - a_n \gt 0$ eşitsizliğini göstermek de tanımla aynıdır. Eğer sonraki terim büyükse farkları pozitif olacaktır. Önce $a_n$ ve $a_{n+1}$ i yazalım ve polinom bölmesi kullanarak daha uygun bir hale getirelim:
\begin{align*}
a_n = \frac{2n+1}{n+2} = 2 -\frac{3}{n+2} & \quad a_{n+1} = \frac{2(n+1) +1}{(n+1) +2 }= \frac{2n+3}{n+3} = 2 - \frac{3}{n+3}\\
\end{align*}
İki terimin farkını alalım:
\[ a_{n+1} - a_n = \left(2 - \frac{3}{n+3} \right) - \left( 2 -\frac{3}{n+2} \right) = \frac{3}{n+2} - \frac{3}{n+3} \]
Farkın pozitif olduğu görülüyor, çünkü $n+2$ paydalı kesir $n+3$ paydalı kesirden büyüktür. Ancak gösterelim:
\[ \frac{3}{n+2} - \frac{3}{n+3} = \frac{(3n + 9) - (3n+6)}{n+3} = \frac{3}{n+3} \]
$ n \in \mathbb{Z}^+$ olduğundan ortaya çıkan kesir ve fark pozitiftir. Dizi artan bir dizidir.


$\displaystyle\frac{an + b}{cn + d}$ şeklindeki diziler için aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.

  1. $ad - bc \gt 0$ ise dizi artan

  2. $ad - bc \lt 0$ ise dizi azalan

  3. $ad - bc = 0$ ise dizi sabittir.


İspat için $a_{n+1} - a_n$ farkını hesaplamak yeterlidir.

Bazen $a_{n+1} - a_n$ farkını kullanmak elverişli değildir. Bu durumlar genellikle $n$ nin üs olduğu veya faktöriyel içeren genel terimlerde ortaya çıkar. Eğer dizi artansa $a_{n+1} \gt a_n$ olacağından $\frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1$ ve azalan ise $\frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1$ olacaktır. Yazılanlar eğer dizi terimleri hep pozitif ise doğrudur. Örneğin $-2$, $-3$ ten büyüktür ancak $\frac{-2}{-3} \lt 1 $ olur.


Tüm terimleri pozitif olan bir dizi için:

  1. $\frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1 $ ise dizi artan

  2. $\frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1 $ ise dizi azalan



Örnek


$a_n = \frac{2^n}{(n+1)!}$ dizisinin artan, azalanlığını inceleyiniz

Çözüm


Tüm terimler pozitif olduğundan ve faktöriyel içerdiğinden iki ardışık terimin oranına bakalım:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{ \frac{2^{n+1} }{(n+2)!} }{ \frac{2^n}{(n+1)!} } = \frac{2}{n+2} \]
$n$ pozitif tamsayı olduğundan oran birden küçüktür ve dizi azalandır.

  • Diziler
  • çözümlü örnekler
  • Aritmetik Dizi
  •