sin A = sin B

İki açının sinüsünün aynı olması için ya bu iki açı aynıdır ya da birbirlerini $180$ e tamamlarlar. Verilen denklem şu iki denkleme dönüşür:
  1. $A=B$
  2. $A = 180-B$
Trigonometrik denklemler çoğunlukla sonsuz elemanlı çözüm kümelerine sahiptir çünkü bir açıya $360$ eklemek ya da çıkarmak onun trigonometrik oranlarını değiştirmez. Yukarıdaki iki denklemi şu şekilde düzeltmemiz gerekiyor:
  1. $A=B + 2k\pi $ ve $k \in \mathbb{Z}$
  2. $A = (\pi-B) + 2k\pi $ ve $k \in \mathbb{Z}$
Yani birinci denklem şunu söylemektedir. İki açının sinüsü birbirine eşit ise ya bu iki açı aynıdır veya birine $360$ ın katlarını ekleyip çıkararak diğerini elde edebiliriz. Benzer şekilde ikinci denklem de bu iki açının esas ölçülerinin birbirini $180$ e tamamlaması gerektiğini anlatır. $\sin A = c$ durumunda sinüsü $c$ olan bir açı bulunur ve verilen denklem $\sin A = \sin B$ biçimine çevrilmiş olur.

Örnek

$\sin (x+\frac{\pi}{6}) = \sin (2x-\frac{\pi}{3})$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

1. $A=B$ \begin{align*} x+\frac{\pi}{6} &=2x-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ve } k \in \mathbb{Z}\\ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}- 2k\pi &= x\\ x &= \frac{\pi}{2} + 2k\pi & \textit{$+2k\pi$ ile $-2k\pi$ arasında bir fark yok!}\\ \end{align*} 2. $A= 180-B$ \begin{align*} x+\frac{\pi}{6} &= \pi-(2x-\frac{\pi}{3}) + 2k\pi \text{ ve } k \in \mathbb{Z}\\ 3x &= \pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ x &= \frac{7\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} & \textit{$2k\pi$ eklemeyi $x$ i çektikten sonra değil hemen yapıyoruz} \\ \end{align*}
$\sin \alpha = a $ biçimindeki denklemlerde verilen $a$ değeri özeldir ve sinüsü $a$ olan açı özel açılardandır. Yani bu tür denklemler de $\sin A = \sin B$ biçimine getirilirler.

Örnek

$\sin (2x+\frac{\pi}{3}) = \frac{-1}{2} $ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Sinüsü $\frac{-1}{2}$ olan açılardan birini bulmamız yeterli. Örneğin $210^{\circ}$ ya da $\frac{7\pi}{6}$. \[ \sin (2x+\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{7\pi}{6}\]
  1. $A=B$
  2. \begin{align*} 2x+\frac{\pi}{3} &= \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \\ x &= \frac{5\pi}{12} + k\pi\\ \end{align*}
  3. $A=180-B$
  4. \begin{align*} 2x+\frac{\pi}{3} &= (\pi - \frac{7\pi}{6}) + 2k\pi \\ x &= \frac{\pi}{12} + k\pi\\ \end{align*}

Örnek

$3\sin x + \cos 2x + 1=0 $ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

$\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ özdeşliğini yazarsak verilen ifade bir ikinci derece denkleme dönüşür. \begin{align*} 3\sin x + \cos 2x + 1 &= 0\\ 3\sin x + 1 - 2\sin^2 x + 1 &= 0 \\ 2\sin^2 x -3 \sin x -2 &=0 & \textit{ İki tarafı $-$ ile çarptık.}\\ (2\sin x +1)(\sin x -2) &= 0\\ \end{align*} Çarpanların $0$ a eşitlenmesi ile iki denklem elde ediyoruz. \begin{align*} 2\sin x +1 &=0 \\ \sin x - 2 &= 0 \end{align*} İkinci denklemin çözümü olmadığı açıktır. İlk denklemden $\sin x = -\frac{1}{2}$ çıkar ve sinüsü $\frac{-1}{2}$ olan açı $\frac{7\pi}{6}$ olduğundan \begin{align*} x &= \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ (1) }\\ x &= \pi - \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ (2) } \end{align*}

cos A = cos B

İki açının kosinüslerinin eşitliği için ya bu iki açının esas ölçüleri aynıdır, ya da biri diğerinin ters işaretlisidir. Verilen denklem şu iki denkleme dönüşür:
  1. $A=B + 2k\pi $ ve $k \in \mathbb{Z}$
  2. $A = -B + 2k\pi $ ve $k \in \mathbb{Z}$

Örnek

$ 2 \cos^2 x - \cos x - 1=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Verilen denklem çarpanlara ayrılırsa: \[ (2\cos x +1)(\cos x -1) \] Buradan iki denklem elde ediyoruz. 1. $\cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow \cos x = \cos \frac{2\pi}{3} $
  • $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi $
  • $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi $
2. $\cos x =1 \rightarrow \cos x = \cos 0$
  • $x = 0 + 2k\pi$
  • $x = -0 + 2k\pi$ ki bu denklem yukarıdaki ile aynıdır.

tan A = tan B ya da cot A = cot B

Burada $\sin$ ve $\cos$ taki gibi iki denklem değil tek bir denklem yeterlidir. Bunun sebebi tanjantları aynı olan ve esas ölçüleri farklı olan (birim çemberde aynı noktaya götürmeyen) iki açının uzaklığının hep $180$ ya da $\pi$ olmasıdır. Hem $\tan$ hem de $\cot$ da \[ A = B + k\pi\] yapmak yeterlidir.

Örnek

$\tan (2x-\frac{\pi}{4}) = -1 $ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Tanjantı $-1$ olan tek bir açı bulmak yeterli, örneğin $\frac{3\pi}{4}$ \begin{align*} \tan (2x-\frac{\pi}{4}) &= -1\\ \tan (2x-\frac{\pi}{4}) &= \tan \frac{3\pi}{4} \\ \end{align*} Tek bir denklem yazacağız: \begin{align*} 2x-\frac{\pi}{4} &= \frac{3\pi}{4} + k\pi \\ x &= \frac{\pi + k\pi} {2} \end{align*} Çözümün en sade hali $x=\frac{k\pi}{2}$ dir.[note2]$\pi + k\pi $ ifadesi ile $k\pi$ ifadesi teorik olarak aynıdır. $k\in \mathbb{Z}$ olduğundan $k\pi$ ifadesi sonsuza kadar $\pi$ ekleyip çıkarabileceğimizi anlatır. Bu durumda $\pi + k\pi $ ile elde edebileceğimiz tüm açıları $k$ yı $1$ fazla seçerek $k\pi$ ile de elde edebiliriz.[/note]

a sin x + b cos x = c

* $c=0$ Bu durumda zaten $\tan x $ elde edebildiğimizden çözüm kolaydır. \begin{align*} a \sin x + b\cos x &= 0\\ a \sin x &= -b\cos x \\ \frac{\sin x }{\cos x} &= \frac{-b}{a} \\ \tan x &= \frac{-b}{a} \end{align*} Böylece $\frac{-b}{a}$ değeri özel olursa $\tan A = \tan B$ şeklinde bir denklem elde edeceğiz.

Örnek

$\sin x+\sqrt{3} \cos x =0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

\begin{align*} \sin x +\sqrt{3}\cos x &= 0\\ \frac{\sin x }{\cos x} &= \tan x = -\sqrt{3}\\ \tan x &= \tan \frac{2\pi}{3} \\ x = \frac{2\pi}{3} + k \pi \quad k \in \mathbb{Z} \end{align*}
* $c\neq 0 $ Bu durumda iki tarafı da $a$ veya $b$ ye böleceğiz:

Örnek

$3 \sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

\begin{align*} \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{3} &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ İki tarafı da $a$ ya böldük}\\ \sin x - \frac{1}{\sqrt{3}}\cos x &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ $\cos x $ in çarpanı özel bir $\tan$ değeri}\\ \sin x - \tan \frac{\pi}{6} \cos x &= \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin x - \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{ \cos \frac{\pi}{6}}\cos x &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ Solda payda eşitlersek} \\ \frac{\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \cos x}{\cos \frac{\pi}{6}} &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ Sol taraf $\sin(a-b)$ açılımıdır.}\\ \frac{\sin (x - \frac{\pi}{6})}{\cos \frac{\pi}{6}} &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{$\cos \frac{\pi}{6}$ değerini yerine yazalım. }\\ \sin (x - \frac{\pi}{6}) &= \frac{1}{2} \end{align*} Buradan sonra artık bildiğimiz gibi, sinüsü $\frac{1}{2}$ olan bir açı bulup $\sin A = \sin B$ durumundaki iki denklemi yazmak kaldı.

$ a \sin^ 2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0 $

Bu durumda her iki taraf da $\cos^2 x$ ya da $\sin^2 x$ e bölünür ve $\tan x$ ya da $\cot x$ e bağlı ikinci derece bir denklem elde edilir.

Örnek

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x =0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Her iki tarafı $\cos^2$ ye bölelim: \begin{align*} \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x &= 0\\ \frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{\cos^2 x }&= 0 \\ \tan^2 x + 2 \tan x + 1 &= 0\\ (\tan x + 1)^2 &=0\\ \tan x &= -1 \\ \tan x &= \tan \frac{3\pi}{4} \\ x &= \frac{3\pi}{4} + k \pi \quad k \in \mathbb{Z}\\ \end{align*}