Toplam Formülleri

İspatları bölüm sonunda yapılacak bu formüllerle, iki açının trigonometrik oranları biliniyorsa bunların toplamları ya da farklarının da değeri bulunabilir. Örneğin özel açılardan $30$ ve $45$ in trigonometrik oranlarını bildiğimizden, gerekirse $75$ veya $15$ in de değerlerini formülleri kullanarak bulabiliriz. Bunun yanında bu formüller, çözümlü örneklerde de görüleceği gibi geometri içeren bazı soru tiplerinde kullanılacaktır.[note1] sadece $\tan$ ı ezberleyip $\cot$ formüllerini bilmeden de hayata devam edilebilmektedir[/note] \begin{align*} \sin (x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y & \sin (x-y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \\ \cos (x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y & \cos (x-y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y\\ \tan (x+y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y} & \cot (x+y) &= \frac{\cot x \cot y-1}{\cot x + \cot y}\\ \tan (x-y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y} &\cot (x-y) &= \frac{\cot x \cot y+1}{\cot x - \cot y} \end{align*}

Çözümlü Örnekler

Örnek

$\sin 15^{\circ}$ nin değeri nedir?

Çözüm

$15$ özel iki açının, $45$ ve $30$ un farkıdır. \[ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \] \begin{align*} \sin(45-30) &= \sin 45\cos 30 - \cos 45 \sin 30 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{align*}

Örnek

Bir $ABC$ üçgeninin iç açıları $A,B \text{ ve } C$ dir. $\tan A = \frac{1}{3}$ ve $\tan B= \frac{1}{4}$ olduğuna göre $\tan C$ değeri nedir?

Çözüm

$C$ açısı $180 - (A+B)$ dir. $\tan C = \tan (180 - (A+B))$ olur. $\tan (180 - \theta) = -\tan \theta $ olduğundan: \begin{align*} \tan (A+B) &= \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B} \\ &= \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{3}\frac{1}{4}} \\ &= \frac{7}{11} \\ \end{align*} \[ \tan C = \tan (180 - (A+B))=-\tan (A+B) = -\frac{7}{11} \]

Örnek

\[ \frac{\cos 30}{\cos 15} + \frac{\sin 30}{\sin 15}\] ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

Paydaları eşitlediğimizde paya dikkat edelim: \[ \frac{\cos 30 \sin 15}{\cos 15 \sin 15} + \frac{\sin 30\cos 15}{\sin 15 \cos 15}= \frac{\sin 45}{\frac{\sin 30}{2}} = 2\sqrt{2} \]

Örnek

Şekilde dört özdeş kare görülmektedir. Buna göre $\tan \widehat{ABC}$ değeri nedir?

Çözüm

Bu sorularda bütün mesele sorulan açıyı, oranlarını bulabileceğimiz açıların toplamı ya da farkı olarak yazmaktır. Burada sorulan açı bir dik üçgen içinde değil. Ancak farkları $\widehat{ABC}$ olan ve dik üçgenler içinde bulunan (dolayısıyla $\tan$ larını bulabileceğimiz) iki açı vardır: $m\widehat{ABD} = a$, $m\widehat{CBD} = b$ ve $m\widehat{ABC} = x$ olsun. $\tan a$ için $ABE$ dik üçgenini, $\tan b$ için de $CBD$ dik üçgenini kullanabiliriz: \[ \tan a = \frac{|AE|}{|BE|}=2 \text{ ve } \tan b = \frac{|CD|}{|BD|}=1\] \begin{align*} \tan x = \tan (a-b) &= \frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \ tan b} \\ %\tan (a-b) &= \frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \ tan b}\\ &= \frac{2-1}{1+2} = \frac{1}{3} \end{align*}

Örnek

Çözüm

$\alpha$ bir dik üçgen içinde değil. Ancak toplamları $\alpha$ yı $90^{\circ}$ a tamamlayan $\widehat{DAG}$ ve $\widehat{EAB}$ açılarının oranları, içinde bulundukları dik üçgenlerden çıkar. $m\widehat{GAD}=a$ ve $m\widehat{EAB} = b$ olsun. \begin{align*} \tan a &= \frac{|GD|}{|AD|}= \frac{1}{2} & \tan b &= \frac{|EB|}{|AB|}=\frac{1}{3} \end{align*} \[ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}= 1\] $\tan (a+b) = 1$ ise $\cot(a+b) = 1$ dir. Dolayısıyla $\tan \alpha = 1$ dir. $\tan$ değerini bildiğimiz bir açının $\sin$ değeri için bir dik üçgen çizmek yeterlidir. Ancak bu soruda buna da gerek yok, $\tan \alpha = 1$ ise $\alpha = 45^{\circ}$ dir ve $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ olur.[note2] Dikkat edilirse $\sin \alpha$ sorulduğu halde $\tan \alpha$ yı bulmaya çalıştık. $\tan$ formülü çoğu durumda daha pratiktir ve işlem hatası şansını azaltır. Örneğin bu durumda $a$ ve $b$ nin sinüs kosinüs değerleri için dik üçgenlerde hipotenüs hesaplamamız gerekiyordu.[/note]

Toplam Formülleri İspatı

Birim çemberde $x$ kadar dönerek bir $C$ noktasına, $y$ kadar dönerek bir $B$ noktasına varalım. Bu noktaların koordinatları şekilde görüldüğü gibi olacaktır. $C$ den düşey ve $B$ den de yatay çizerek $CBD$ dik üçgenini oluşturalım. İki açının farkı $x-y=\widehat{COB}$ dir. Öte yandan başka bir birim çemberde bu fark kadar, yani $x-y$ dönelim ve $E$ noktasını bulalım. İspatın temeli $COB$ üçgeni ile $EOA$ üçgeninin eşliğine dayanır. İki üçgen de ikizkenardır ve ikizkenarlar birim çemberin yarıçapı kadardır. Bu kenarlar arası açı da aynı olduğundan \[ |CB|=|EA| \] Tüm yapacağımız, oluşturduğumuz dik üçgenlerden pisagor kullanarak $CB$ ve $EA$ nın uzunluklarını yazmak ve eşitlemek. $BCD$ dik üçgeni için: \begin{align*} |BC|^2 &= |BD|^2 + |CD|^2 \\ &=(\cos y - \cos x)^2 + (\sin x - \sin y)^2\\ &= \cos^2 y - 2\cos y \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \sin y + \sin^2 y\\ &= \cos^2 y + \sin^2 y + \cos^2 x + \sin^2 x -2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)\\ &= 2-2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)\\ \end{align*} $EE'A$ dik üçgeni için: \begin{align*} |EA|^2 &= |E'A|^2 + |EE'|^2 \\ &=(1- \cos (x-y))^2 + (\sin (x - y))^2\\ &= 1 - 2\cos (x-y) + \cos^2 (x-y) + \sin^2 (x - y)\\ &= 2-2\cos (x-y)\\ \end{align*} $|BC|=|EA|$ olduğundan \begin{align*} 2-2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) &= 2-2\cos (x-y) \\ \cos x \cos y + \sin x \sin y &= \cos (x-y) \end{align*} Böylece toplam formüllerinden $\cos(x-y)$ yi çıkarmış olduk. Bu formülü diğer formüllerin çıkarımında kullanacağız. Örneğin $y$ yerine $-y$ yazdığımızı düşünelim:[note3] $\cos(-x)=\cos x$ ve $\sin (-x)=-\sin x$ idi. [/note] \begin{align*} \cos (x+y) &= \cos x \cos (-y) + \sin x \sin (-y) \\ \cos (x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{align*} $\cos (x-y)$ de $x$ yerine $90-x$ yazarsak \begin{align*} \cos (90-x-y) &= \cos ([90-x]-y)) & \cos(90-x-y )&= \cos(90-[x+y]) \\ &=\cos (90-x)\cos y + \sin (90-x)\sin y & &=\sin(x+y)\\ &=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\ \end{align*} $\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$ özdeşliğini elde ettik. $y$ yerine $-y$ yazdığımızda da $\sin(x-y)$ elde edilir.