* Dönüşüm Formülleri

\begin{align*}
\sin x + \sin y &= 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} & \cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\
\sin x - \sin y &= 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} & \cos x - \cos y &=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \\
\end{align*}

* Ters Dönüşüm Formülleri

\begin{align*}
\cos x \cos y &= \frac{1}{2}[\cos (x+y) + \cos (x-y)] \\
\sin x \sin y &= -\frac{1}{2}[\cos (x+y) - \cos (x-y)] \\
\sin x \cos y &= \frac{1}{2}[\sin (x+y) + \sin (x-y)] \\
\end{align*}

Dönüşüm formüllerinde dikkat edersek iki açı toplanıp çıkarılarak ikiye bölünüyor. Dolayısıyla genellikle sorularda uygulamadan önce açılarının toplamları veya farklarının yarısının özel olup olmadığına bakılır.

Örnek


$\cos 255^{\circ} + \cos 165^{\circ}$ ifadesinin değeri nedir?

Çözüm


$\frac{255+165}{2} = 210$ ve $\frac{255-165}{2}=45$ olduğundan dönüşüm formülü uygularız:

\begin{align*}
\cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\\
\cos 255^{\circ} + \cos 165^{\circ} &= 2 \cos \frac{255^{\circ}+165^{\circ}}{2} \cos \frac{255^{\circ}-165^{\circ}}{2}\\
&= 2 \cos 210^{\circ} \cos 45^{\circ} \\
&= 2 \frac{-\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}
\end{align*}


Örnek


\[ \frac{1}{\cos 75^{\circ}} + \frac{1}{\sin 75^{\circ}} \] ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

\begin{align*}
\frac{1}{\cos 75^{\circ}} + \frac{1}{\sin 75^{\circ}} &= \frac{\sin 75^{\circ} + \cos 75^{\circ} }{\sin 75^{\circ}\cos 75^{\circ}}\\
&= \frac{\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} }{ \frac{\sin 150^{\circ}}{2}}\\
&= \frac{2\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\frac{\sin 150^{\circ}}{2}}\\
&= \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{6}
\end{align*}


Örnek


\[ \frac{\sin 20^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\cos 20^{\circ} + \cos 30^{\circ} + \cos 40^{\circ}} \] ifadesinin değeri nedir?

Çözüm


Hem payda hem de paydada $1$ ve $3$. terime dönüşüm formülü uygulayalım. [note1] $20$ ve $40$ ın toplamının yarısı $30$ olduğundan böyle bir seçim yaptık.[/note]

\begin{align*}
\frac{2\sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ}+ \sin 30^{\circ}}{2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} + \cos 30^{\circ}} &=%
\frac{\sin 30^{\circ}( 2\cos 10^{\circ} + 1)}{\cos 30^{\circ}(2\cos 10^{\circ} + 1)}\\
&= \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}


Örnek


$\cos 10^{\circ}=a$ ise $2\cos 50^{\circ}\cos 40^{\circ}$ ifadesinin değeri nedir?

Çözüm


Ters Dönüşüm uygularsak

\begin{align*}
2\cos 50^{\circ}\cos 40^{\circ} &= 2 \frac{1}{2}[\cos 90^{\circ} + \cos 10^{\circ}] \\
&= \cos 10^{\circ} = a
\end{align*}