%Test: Problemler Test I
\begin{questions}
\question
$3$ katının $4$ fazlası, $8$ fazlasının $2$ katına eşit olan sayı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $10$
\choice $11$
\CorrectChoice $12$
\choice $13$
\choice $14$
\end{oneparchoices}
Çözüm
\begin{align*}
3x+4&=2(x+8) \\
3x+4&=2x+16 \\
x&=12
\end{align*}
\question
Farkları $8$ olan iki sayının toplamı küçük olan sayının $3$ katından $4$ eksiktir,
büyük olan sayı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $20$
\choice $18$
\choice $16$
\choice $14$
\choice $12$
\end{oneparchoices}
Çözüm
\begin{align*}
b-k&=8 \\
b+k&=3k-4 \Rightarrow b-2k=-4\\
\textbf{iki ifadeyi birbirinden çıkaralım} \\
b-k-(b-2k)&= 8-(-4) \\
b-k-b+2k&=8+4 \\
k&=12\\
b&=k+8\\
b&=20
\end{align*}
\question
Rakamları toplamı $8$ olan iki basamaklı bir sayının, rakamları yer değiştirdiğinde ilk sayıdan $36$ fazla olan sayı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $53$
\CorrectChoice $26$
\choice $17$
\choice $80$
\choice $71$
\end{oneparchoices}
Çözüm
iki basamaklı sayımıza $ab$ diyelim, $ba$ sayısı, $ab$'den $36$ fazlaymış. Sayıların değeri basamakla rakamın çarpımıyla bulunabilir.
\begin{align*}
ba-ab&=36 \\
(10b+a)-(10a+b)&=36 \\
10b+a-10a-b&=36 \\
9b-9a&=36\\
b-a&=4\\
b+a&=8 \textit{daha önce verilmişti} \\
2b&=12\\
b&=6\\
a&=2\\
\end{align*}
$ab=26$
\question
İki sayının kareleri farkı $644$'dür. Bu sayılardan her birine $2$ eklendiğinde kareleri farkı $700$ oluyor.
Bu sayıların toplamı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $36$
\choice $42$
\CorrectChoice $46$
\choice $52$
\choice $62$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Öncelikle $x^2-y^2=(x-y)\cdot(x+y)$ şeklinde yazılabilir. Yine aynı şekilde sayılara $2$ eklendiğinde ifade
\begin{align*}
((x+2)^2-(y+2)^2)&=((x+2)-(y+2))\cdot((x+2)+(y+2)) \\
&=(x-y)\cdot(x+y+4)\\
(x-y)(x+y+4)&=700
x+y+4&=\frac{700}{x-y} \\
\textbf{2 eklemeden önceki halde} \\
(x-y)(x+y)&=644 \\
x+y&=\frac{644}{x-y}
\textbf{paydaları aynı olan iki ifadeyi birbirlerinden çıkaralım} \\
(x+y+4)-(x+y)&=\frac{696-600}{x-y} \\
4&=\frac{56}{x-y} \\
4(x-y)&=56 \\
x-y&=14
\end{align*}
$(x-y)(x+y)=644$ demiştik,
\begin{align*}
14(x+y)&=644\\
x+y&=46\\
\end{align*}
\question
Bir miktar para $8$ kişi arasında paylaştırılacaktır. Üç kişi gruptan ayrılınca herkese $450$ lira fazla düştüğüne göre,
paylaşılan para ne kadardır?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $6000$
\choice $5400$
\choice $4800$
\choice $4200$
\choice $3600$
\end{oneparchoices}
Kişi başına başlangıçta düşen paraya $x$ diyelim, toplam para $8x$ olur. İkinci durumda, $5$ kişiye paylaştırılıyor ve kişi başına $x+450$ lira düşüyor.
Çözüm
\begin{align*}
8x&=5(x+450)\\
8x&=5x+2250\\
3x&=2250\\
x&=750\\
\end{align*}
Bir kişiye başlangıçta, $750$ lira düşüyormuş, paranın tamamı
$750\cdot 8=6000$
\question
Bir sınıfta öğrenciler sıralara $2$'şerli oturduğunda 4 öğrenci ayakta kalıyor,
$3$'erli oturduğunda $3$ sıra boş kalıyor, sınıfta kaç öğrenci vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $18$
\choice $21$
\choice $24$
\choice $27$
\CorrectChoice $30$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Sınıftaki sıra sayısına $x$ diyelim. Sınıftaki öğrenci sayısı, $2$'şerli oturulduğunda, $2x+4$ olur. $3$'erli oturulduğunda, $3(x-3)$'tür.
\begin{align*}
2x+4&=3(x-3)\\
2x+4&=3x-9\\
9+4&=3x-2x\\
13&=x\\
\end{align*}
Sıra sayısı $13$'müş. Toplam öğrenci sayısı, $2\cdot 13+4=30$
\question
Bir adam bir yolun tamamını $80$ adımda alıyor.
Adam adımlarını $30$'ar santim kısaltırsa aynı yolu $120$ adımda aldığına göre yol kaç metredir?
\begin{oneparchoices}
\choice $64$
\choice $68$
\CorrectChoice $72$
\choice $76$
\choice $80$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Adamın başlangıçtaki adım uzunluğuna $x$ diyelim, yolun tamamı $80x$, ikinci durumda, $x-30$ uzunluğunda adım atıyor, yolun tamamı, $120(x-30)$,
\begin{align*}
80x&=120(x-30)\\
80x&=120x-3600\\
3600&=40x\\
x&=90\\
\end{align*}
Yolun tamamı, $80\cdot 90=7200$ santimetre, yani $72$ metredir.
\question
Bir salonda $84$ erkek, $24$ kadın vardır.
Bu salona kaç evli çift (karı-koca) gelirse, erkek sayısı kadın sayısının $3$ katı olur?
\begin{oneparchoices}
\choice $4$
\CorrectChoice $6$
\choice $8$
\choice $10$
\choice $12$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Gelen çift sayısına $x$ diyelim, erkek ve kadınlar $x$ kadar artacaktır ve erkek sayısı kadın sayısının $3$ katı olacakmış.
\begin{align*}
84+x&=3(24+x)\\
84&+x=72+3x\\
12&=x\\
\end{align*}
Salona $12$ çift daha gelmesi gerekir.
\question
Bir torbadaki elmaların sayısı, armutların sayısının $4$ katıdır.
Torbadan $6$ elma alınıp, $6$ armut eklenirse, elmalarla armutların sayısı eşit oluyor, buna göre başlangıçta torbada kaç elma vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $13$
\choice $14$
\choice $15$
\CorrectChoice $16$
\choice $17$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Elmalara $e$ , armutlara $a$ diyelim.
\begin{align*}
e&=4a\\
e-6=a+6 \Rightarrow e-12&=a\\
\textbf{ilk ifadede a yerine e-12 yazalım} \\
e&=4(e-12)\\
e&=4e-48\\
3e&=48\\
e&=16
\end{align*}
\question
Ahmet'te $100$ ve $500$ liralıklardan oluşan $300$ madeni para vardır.
Paraların toplam tutarı 50400 lira olduğuna göre, kaç tanesi $500$'lüktür?
\begin{oneparchoices}
\choice $91$
\choice $87$
\choice $74$
\choice $63$
\CorrectChoice $51$
\end{oneparchoices}
Çözüm
$500$'lük madeni paraların sayısına $x$ diyelim, paranın toplamı:
\begin{align*}
500x+(300-x)\cdot 100&=50400\\
500x+30000-100x&=50400\\
400x&=20400\\
x&=51
\end{align*}
\question
Bir grupta $34$ kişi vardır.
Gruptaki erkeklerin sayısı kadınlardan $4$ fazla, kadın ve erkeklerin toplamının sayısı da çocuklardan $2$ fazlaysa, gruptaki kadınların
sayısı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $11$
\choice $10$
\choice $9$
\choice $8$
\CorrectChoice $7$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Sırasıyla, erkek, kadın ve çocuklara, $e,k,c$ diyelim.
\begin{align*}
e+k+c&=34\\
e&=k+4\\
e+k&=c+2\\
&\\
k&=e-4 \text{ikinci denklemden çıkardık} \\
k+4+k&=c+2 \Rightarrow c=2k+2 \textit{ e yerine k+4 koyduk}
&\\
\textbf{ilk denklemde bulduğumuz e ve c'nin k cinsinden bulduğumuz değerleri yerine koyalım} \\
(k+4)+k+(2k+2)&=34\\
4k+6&=34\\
k&=7
\end{align*}
\question
Bir sayının $5$ eksiğinin yarısının $7$ katı, aynı sayının $7$ fazlasının $2$ katına eşittir.
Bu sayı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\choice $18$
\choice $19$
\choice $20$
\CorrectChoice $21$
\choice $22$
\end{oneparchoices}
Çözüm
\begin{align*}
\frac{x-5}{2} \cdot 7&= 2(x+7) \\
\frac{7x-35}{2}&=2x+14 \\
7x-35&=4x+28 \\
7x-4x&=35+28\\
3x&=63\\
x&=21
\end{align*}
\question
Bir torbaya $40$ kişiden bir kısmı $3$'er, bir kısmı $4$'er, bir kısmı da $5$'er bilye koyarsa, torbada $160$ bilye birikiyor.
$4$'er bilye koyanların sayısı, $5$'er bilye koyanların sayısının iki katına eşit olduğuna göre, $3$'er bilye koyan kaç kişi vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $7$
\choice $8$
\choice $9$
\CorrectChoice $10$
\choice $11$
\end{oneparchoices}
Çözüm
$3$'erli, $4$'erli ve $5$'erli bilye koyanların sayısına sırasıyla $a$, $b$ ve $c$ diyelim. Toplam kişi sayısı
$a+b+c=40$.
Toplam bilye sayısı $160$ olduğuna göre:
\[ 3a+4b+5c=160 \]
ve $5$'er bilye koyanların sayısının iki katına eşit olduğundan,
$b=2c$, ilk denklemimizde $b$ yerine $2c$ yazarsak,
\begin{align*}
a+b+c=40 \\
a+2c+c=40 \\
a+3c=40 \\
\end{align*}
ikinci denklemimizde $b$ yerine $2c$ yazarsak,
\begin{align*}
3a+4b+5c=160 \\
a+8c+5c=160 \\
a+13c=160 \\
\end{align*}
son olarak,
\begin{align*}
a+3c=40 \textbf{burayı 3'le çarpalım} \Rightarrow 3a+9c&=120\\
3a+13c&=160 \\
alttaki ifadeden üstteki ifadeyi çıkarırsak,
4c&=40 \\
c&=10\\
\end{align*}
sonucunu buluruz, torbaya $5$ bilye koyanların sayısı $10$'dur.
\question
Bir adam bir merdivenin basamaklarını $3$'er $3$'er çıkıyor ve $5$'er $5$'er iniyor.
Çıkarken attığı adım sayısı inerken attığı adım sayısından $32$ fazladır.
Bu adam merdivenleri inerken kaç adım atmıştır.
\begin{oneparchoices}
\choice $40$
\CorrectChoice $48$
\choice $56$
\choice $64$
\choice $72$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Çıkarken attığı adım sayısına $x$ dersek, merdiven sayısı$3x$ olur, inerken attığı adım sayısı $x-32$ ise, merdiven sayısı, $5(x-32)$ olur.
\begin{align*}
3x&=5(x-32)\\
3x&=5x-160\\
2x&=160\\
x&=80
\end{align*}
çıkarken attığı adım sayısı $80$'miş, inerken bunun $32$ eksiğini atmış, $80-32=48$, inerken $48$ adım atmıştır.
\question
$y=f(x)$ olmak üzere
\[ 3xy-5-y = 2x \] olduğuna göre $f(x)$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $\frac{2x+5}{3x-1}$
\choice $\frac{3x-1}{2x+5}$
\choice $\frac{2x-5}{3x-1}$
\choice $\frac{2x-5}{3x+1}$
\choice $\frac{2x+5}{3x+1}$
\end{oneparchoices}
\question
$3$ kalem, $5$ defter, $6$ silgi $42000$ lira, $4$ kalem, $2$ defter $1$ silgi $34000$ lira olduğuna göre,
bir kalem, bir silgi, bir defter toplam kaç liradır?
Çözüm
Sırasıyla, kalem, defter, silgi için, $k$, $d$, $s$ dersek:
\begin{align*}
3k+5d+6s&=42000\\
4k+2d+s&=32000\\
\textbf{iki ifadeyi toplarsak}\\
7k+7d+7s&=84000
7(k+d+s)&=84000
k+d+s&=\frac{84000}{7}
&=12000
\end{align*}
\question
Aslı'nın parası, Ezgi'nin parasının $7$ katıdır, Aslı Ezgi'ye $1200$ lira verirse, Aslı'nın parası Ezgi'nin parasının $4$ katından
$1800$ lira fazla oluyor.
Başlangıçta Aslı'nın kaç parası vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $12400$
\choice $11800$
\choice $10800$
\choice $10200$
\CorrectChoice $9800$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Denklemi kuralım:
\begin{align*}
a=7e\\
(a-1200)+1800&=4(e+1200) \\
a+600&=4e+4800 \\
a-4e&=4200\\
\textbf{a yerine 7e yazarsak} \\
7e-4e&=4200\\
3e&=4200\\
e&=1400
\end{align*}
Ezgi'nin başlangıçta $1400$ lirası varmış, Aslı'nın parası başlangıçta bunun $7$ katıydı, $1400\cdot 7=9800$
\question
$50$ kişilik bir toplulukta, kadınların sayısı çocuklardan $6$ fazla, erkeklerden $5$ eksik olduğuna göre, çocukların sayısı kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $11$
\choice $12$
\choice $13$
\choice $14$
\choice $15$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Denklemi kuralım ve erkek ve çocukların yerine kadın koyalım: erkek sayısı kadınlardan $5$ eksikse, $e=k+5$'dir, çocuk sayısı da kadınlardan $6$ fazla olduğu için $c=k-6$'dır
\begin{align*}
k+e+c&=50
k+(k+5)+(k-6)&=50
3k-1=50
3k=51
k=17
\end{align*}
Çocuk sayısı $17-6=11$'dir
\question
Başlangıçta aynı zamanı gösteren analog $5$ saatten biri normal çalışmakta, biri günde $15$ dakika, diğeri $30$, diğeri $45$ ve diğeri de $60$ dakika ileri gitmektedir, normal çalışan saate göre en az kaç gün sonra saatler yine aynı zamanı gösterirler?
\begin{oneparchoices}
\choice $36$
\CorrectChoice $48$
\choice $60$
\choice $72$
\choice $96$
\end{oneparchoices}
Çözüm
Burada, normal saatle en az ileri giden saatin ilk defa aynı zamanı göstermesi için geçen gün sayısını bulacağız.
Başlangıçta aynı zamanı gösterdiklerine göre, ikinci saatin tam $12$ saat ileri gittiği gün sayısında saatler yine aynı zamanı gösterecektir. Çünkü diğer saatler ikinci saatin sırasıyla, $2$, $3$ ve $4$ katı ileri gitmiş olacaklar, birinci saat $12$ saat ileri gittiği zaman, ikincisi $24$, $3$. sü $36$ ve $4$. sü $48$ saat ileri gidecek ve aynı zamanı gösterecekler.
2. saatin $12$ saat ileri gitmesi için geçmesi gereken gün sayısı:
$12$ saat $12 \cdot 60=720$ dakika, $2$. saatin $720$ dakika ileri gitmesi için, her gün $15$ dakika ileri gittiğine göre,
$\frac{720}{15}=48$ gün'dür.
\question
Bir otobüste $a$ tane kadın, $b$ tane erkek ve $c$ tane çocuk yolcu vardır.
\begin{align*}
32a&=1024 \\
a-b &< 12 \\
c-b &> 6 \\
\end{align*}
ise, otobüste en az kaç yolcu vardır.
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $81$
\choice $82$
\choice $83$
\choice $84$
\choice $85$
\end{oneparchoices}
Çözüm
$a=\frac{1024}{32}=32$
\begin{align*}
a-b &< 12 \\
32-b&<12 \\
32-12&
\end{align*}
$b$ en az $21$'dir.
\begin{align*}
c-b&>6 \\
c-21&>6 \\
c&>27
\end{align*}
$c$ en az $28$'dir.
Otobüsteki yolcu sayısı en az $32+21+28=81$'dir.
\question
Ahmet'in parası, Salih'in parasından $1400$ lira fazladır.
İkisinin paralarının toplamının yarısı $6200$ lira olduğuna göre Ahmet'in kaç lirası vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $5300$
\choice $5700$
\choice $6100$
\choice $6500$
\CorrectChoice $6900$
\end{oneparchoices}
Çözüm
\begin{align*}
a&=s+1400\\
\frac{a+s}{2}&=6200\\
a+s&=12400\\
üstteki ifadedeki s+1400'ü , a yerine koyalım \\
s+1400+s&=12400\\
2s+1400&=12400\\
2s&=11000\\
s&=5500
\end{align*}
Salih'in parası $5500$, Ahmet'inki de bundan $1400$ fazlaydı, Ahmet'in $5500+1400=6900$ lirası vardır.
\end{questions}