En sık karşılaşacağımız tabanlar $2,3,5,10$ gibi üslerine daha önceden alışık olduğumuz sayılar olacak. Üslü sayılarda çarpma yaparken tabanlar eşitken üsler toplanıyordu. Bunun doğal bir uzantısı logaritmada şudur: \[ \log_b x\cdot y = \log_b x + \log_b y \] Örneğin $ \log_2 2^8=8$ dir. Ancak içeriyi şöyle parçalayalım: \[ \log_2 2^3 \cdot 2^5= \log_2 2^3 + \log_2 2^5 = 3+5=8\] İçerideki çarpanların ayrı ayrı logaritmalarını alıp toplayabiliriz. Ancak özellik şu değil \[ {\log x \cdot \log y = \log (x+y)}\] Bu arada yukarıda taban yazmadık, eğer taban yazılmazsa $10$ dur, $10$ tabanında logaritma basit ya da adi logaritma adıyla anılır. $\log 3$ yazılmışsa $\log_{10} 3$ yazılmıştır. Logaritma içindeki çarpanların ayrı logaritmaların toplamı haline getirilmesinden şu kural da çıkar: \[ \log_b x^y = y \log_b x\] Logaritma içindeki sayının üssü, dışarı çarpan olarak düşer, diyebiliriz. İki sayı bölme halinde ise bunlar da çıkarma şeklinde iki logaritmaya dağıtılabilir: \[ \log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y \] Tabanın üssü dışarı bölme olarak düşer: \[ \log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x \] Bu özellikleri kullanan en tipik ve temel sorulardan bir kaç tane çözelim.

Örnek

Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.
  1. $\log_2 32 $
  2. $\log_4 8$
  3. $\log_{16} 4$
  4. $\log \sqrt{10}$
  5. $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$
  6. $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 25$

Çözüm

  1. $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$
  2. $\log_4 8=\log_{2^2}2^3 = \frac{3}{2}\log_2 2 =\frac{3}{2}$
  3. $\log_{16} 4 = \log_{2^4} 2^2 = \frac{2}{4} \log_2 2 = \frac{1}{2}$
  4. $\log \sqrt{10} = \log 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log 10 = \frac{1}{2}$
  5. $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-2}} = \frac{-2}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = -4$
  6. $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 25 = \log_{5^{\frac{-1}{2}}} 5^2 = \frac{2}{\frac{-1}{2}}=-4$

Örnek

$\log 2= a$ ve $\log 3 =b$ ise $\log 72$ nin $a$ ve $b$ türünden değeri nedir?

Çözüm

$72$ yi çarpanlarına ayıralım ve çarpanların ayrı logaritmalara dağıtarak üsleri dışarı çarpan olarak düşürelim: \[ \log 72 = \log 2^3 \cdot 3^2 = \log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3 = 3a+2b \]

Örnek

$\log 2 = a$ ise $\log 25$ in $a$ cinsinden değeri nedir?

Çözüm

Burada ileride de gerekecek bir çıkarım yapacağız. $\log 2 $ verilmişse $2$ yi tabana eşitleyen çarpan da yani $\log 5$ de verilmiştir [note1]Taban yazılmadığında $10$ idi.[/note] Başka bir tabanda örnek verirsek $\log_{14} 7 = a$ verilmişse $\log_{14} 2$ yi de $a$ cinsinden bulabiliriz. Taban ve içerisi eşit olduğunda cevap $1$ idi, $\log 10 = 1$. \[ \log 10 = \log 2 \cdot 5 = \log 2 + \log 5 = 1\] Dolayısıyla $\log 2 = a $ ise $\log 5 = 1-a$ olur. Soruda $\log 25$ soruluyor: \[ \log 25= \log 5^2 = 2\log 5 = 2(1-a) \]
Logaritmanın üstel fonksiyona dönüştürülmesi ile çözülecek basit bir örnek de şudur:

Örnek

\begin{align*} a &= \log_2 3\\ b &= \log_5 26 \\ c &= \log_3 2 \end{align*} ise $a,b,c$ yi büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözüm

Logaritmayı tanımlarken şu özdeşliğe dikkat çekmiştik: \[ \log_b a = c \Rightarrow b^c = a\] Bu durumda \begin{align*} a &=\log_2 3 \Rightarrow 2^a = 3 & 1 \lt &a \lt 2 \\ b &=\log_5 26 \Rightarrow 5^b = 26 & 2 \lt &b \lt 3 \\ c &=\log_3 2 \Rightarrow 3^c = 2 & 0 \lt &c \lt 1 \end{align*} $b \gt a \gt c$