Sıralama sorularında $a=\log_2 5$ gibi bir ifade de $a$ nın hangi iki tam sayı arasında olduğunu, ifadenin üstel eşitini yazarak yapmıştık. $2^a = 5$ ifadesinde $2 ?

Not

Gerçekte logaritma tabloları(cetvelleri) çok daha fazla sayıyı içerir. Elektronik hesap makinaları yaygınlaşmadan önce, yani $20.$ yüzyılın ikinci yarısına kadar her mühendislik kitabında bu cetveller bulunmaktaydı.

$x$ | $Log (x)$ ------------- | ------------- 10 | 1 9 | 0.95422 8 | 0.90308 7 | 0.84505 6 | 0.77814 5 | 0.69894 4 | 0.60205 3 | 0.4771 2 | 0.30096 1 | 0.0 Örneğin $2$ ile $3$ ü çarpacağımızı düşünelim. Bu sayıları çarpmaktansa sonucun logaritmasını hesaplayabiliriz. \[ \log(2\cdot 3)= \log 2 + \log 3 =0.30096+0.4771 = 0.77806 \] Cetvele baktığımızda $6$ nın logaritmasına çok yaklaştığımızı görürüz. Sonuç $6$ ya yakın olmalıdır :) Tabii ki logaritmayı böyle komik bir çarpma için kullanmıyoruz, örneğin $64$ le $243$ ün çarpımı için kullanalım. \[ \log 64 \cdot 243 = \log 2^6 + \log 3^5 = 6 \log 2 + 5 \log 3 \] $6 \log 2 + 5 \log 3$ değeri tabloya bakarak hesaplarsak kabaca $4.2$ dir. İşte logaritmanın asıl işe yaradığı nokta burasıdır. $4$ ü kullanmak zorunda değiliz. Logaritması $0.2$ olan sayıya bakmamız yeterli, tablo çok kaba olduğu için ancak $2$ nin logaritmasının yaklaşık $0.3$ olduğunu ve aradığımız sayının bundan küçük olduğunu görürüz. Daha hassas bir cetvelde bu sayının $1.6$ ya yakın olduğunu görebilirdik. Neden $4$ önemli değil ve ondalık kısmın $1.6$ nın logaritması olduğunu öğrendikten sonra hesaba nasıl devam edeceğiz ? Logaritması $4$ olan sayı $10^4$ tür. Logaritması $5$ olan sayı da $10^5$ tir. Demek ki sayımız bu sayılar arasında ve $5$ basamaklı. Ayrıca $\log(10^4 \cdot x )= 4 + \log x = 4.2$ olduğundan tüm yapmamız gereken $10^4$ ile logaritması $0.2$ olan sayıyı yani $1.6$ yı çarpmak. Bu durumda sonuç $16000$ olur. Gerçek sonuç $15552$. Örneğin $7^5 \cdot 2^7 \cdot 3^7$ işleminin sonucunu hesaplamaya çalışalım. \[ \log 7^5 \cdot 2^7 \cdot 3^7 = 5 \log 7 + 7 \log 2 + 7 \log 3 =5 \cdot 0.84 + 7 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.48 = 9.66 \] Bir kez daha vurgularsak elde ettiğimiz logaritma ancak $10^9$ ile $10^{10}$ arasındaki sayılarda olabilir. Çünkü $\log 10^9 =9$ ve $\log 10^{10} = 10$ dur. Ayrıca $\log 10^9 \cdot x = 9 + \log x = 9.66$ olduğundan logaritması $0.66$ olan sayıyı bulup $10^9$ ile çarpmamız yeterli. Tablomuz kaba olduğundan bu sayının $5$ e yakın olduğunu görüyoruz. Ancak gene daha iyi bir logaritma cetvelinde bu sayının $4.58$ e daha yakın olduğu görünür. Demek ki çarpmanın sonucu $4.58 \cdot 10^9$ dur. Tam cevap $4704884352$ dir. On beş saniyede yapabileceğimiz bir işlemle doğru cevaptan sadece $ \% 3$ uzaktayız. * Bir sayının logaritmasının tam kısmına karakteristik * Bir sayının logaritmasının ondalık kısmına da mantis denir. Karakteristik verili tabanın kaçıncı üssünde olduğumuzu belirtir. Bir sayının onluk tabanda logaritmasının karakteristiği, o sayının onluk tabanda kaç basamakla yazılacağını gösterir. Karakteristiğin bir fazlası basamak sayısıdır. Onluk tabanda üç basamaklı sayıların ilkini düşünelim $100$. $\log 100 = 2$ dir. Onluk tabanda dört basamaklı sayıların ilki $1000$ dir ve logaritması $3$ tür. Demek ki logaritması $2$ ile $3$ arasındaki sayılar $100$ ile $1000$ arasındadırlar ve üç basamaklıdırlar.

Örnek

$\log 2 =0,301$ olduğuna göre $2^{25}$ sayısı kaç basamaklıdır?

Çözüm

$\log 2^{25}=25 \log 2 = 25 \cdot 0,301 $, işlemin yaklaşık sonucu $7,5$ tir. Tam kısmın bir fazlası basamak sayısı olacağından işlemi tam yapmaya gerek yok. Basamak sayısı $8$ dir. Karakteristik ve mantiste karıştırılan bir durum logaritmanın değerinin negatif olduğu durumdur. Mantis hep pozitiftir. Dolayısıyla $\log a = -1,4$ ise burada karakteristik $-1$ mantis de $-0,4$ değildir. Negatif bir tam sayıya, pozitif bir ondalık sayı eklediğimizde $-1,4$ bulmalıyız. $-1,4 = -2 + 0,6$ olduğundan Karakteristik $-2$ ve mantis de $0,6$ dır. Demek ki logaritma değeri negatif ise tam kısımdan $1$ çıkarılır ve ondalık kısıma da $1$ eklenir. \[ -1,4 = -1 + -0,4 = -2 + 0,6 \] Karakteristiğin $-2$ ve mantisin $0,6$ olduğu $\overline{2},6$ şeklinde gösterilir. ?

Not

Tekrarlamakta fayda var. Logaritmanın değeri pozitif ise karakteristik tam kısım ve mantis de ondalık kısımdır. $\log a =1,4$ ise karakteristik $1$ ve mantis de $0,4$ tür. Hiçbir sorun yok. Ancak $\log a =-1,4$ ise karakteristik $-2$ ve mantis de $0,6$ dır ve istenirse bu $\overline{2},6$ şeklinde gösterilir..

Örnek

$\log a = \overline{1},32$ ise $\log a^3$ ün değeri nedir?

Çözüm

$\overline{1},32 = -1 + 0,32 = -0,68$ dir. \begin{align*} \log a^3 &= 3 \log a \\ &= 3 \cdot 0,68 \\ &= -2,04 \end{align*} Sorulan logaritma değeri $-2,04$ tür ve $\overline{3},96$ şeklinde de gösterilebilir.