Kartezyen Çarpım
Sıralı ikili, iki nesnenin yönlü bir eşleştirilmesidir. $a$ yı $b$ ile eşleyen sıralı ikili $(a,b)$ şeklinde gösterilir. Sıralı ikilinin tanımlayıcı özelliği şudur.
\[ (a,b)=(c,d) \iff a=c \text{ ve } b=d \]
İki sıralı ikili birbirine eşitse, birinci eleman karşıdaki birinci elemana ve ikinci eleman da karşıdaki ikinci elemana eşittir. Bu tanımdan sıralı ikilinin yönlü olduğunu çıkarabiliriz. Örneğin herhangi bir $(a,b)$ sıralı ikilisinin $(b,a)$ sıralı ikilisine eşit olması için:
\[ (a,b)=(b,a) \Rightarrow a=b \text{ ve } b=a\]
Bu da $a\neq b$ ise sıralı ikilide yön değiştirecemeyeceğimizi gösterir.
$A$ ve $B$ gibi iki kümenin kartezyen çarpımı $A \times B$ ile gösterilir ve $A$ dan $B$ ye yazılabilecek tüm $(a,b)$ sıralı ikililerinin kümesidir. Kartezyen çarpım yönlüdür, sıralı ikililerde $a \in A$ ve $b \in B$ olmak zorundadır. Eğer $A$ ve $B$ aynı küme değilse $A\times B \neq B\times A$ diyebiliriz. Çünkü $B\times A$ durumunda ikililer ters dönmüştür ve $(a,b)$ ikilileri $(b,a)$ ikililerine eşit değildir. Kümelerden biri boş küme ise kartezyen çarpım boş kümedir: $ A \times \emptyset = \emptyset $
Kartezyen çarpım kümesini göstermek için şöyle bir notasyon da kullanıyoruz:
\[ A \times B = \{(a,b): a\in A \text{ ve } b\in B \}\]
$a$ yı $A$ dan ve $b$ yi $B$ den seçerek oluşturulacak $(a,b)$ ikililerinin kümesi anlatılıyor.
Örneğin $A$ kümesi iskambil destesindeki kağıt türleri ve $B$ de numaraları olsun.
Örnek
$A=\{ \spadesuit,\diamondsuit,\clubsuit,\heartsuit \}$ ve $B=\{ 1,2,3,\cdots ,10,\text{ Vale },\text{Kız},\text{Papaz}\}$ ise $A\times B$ kümesini yazınız.
Çözüm
Bu durumda $A\times B$ kümesi şöyle olacaktır:
\begin{align*} A\times B = \{ & (\spadesuit,1),(\spadesuit,2), \cdots
,(\spadesuit,\text{Papaz}),\\ & (\diamondsuit,1),(\diamondsuit,2),\cdots
,(\diamondsuit,\text{Papaz}), \\ & (\clubsuit,1),(\clubsuit,2),\cdots
,(\clubsuit,\text{Papaz}), \\ &(\heartsuit,1),(\heartsuit,2),\cdots
,(\heartsuit,\text{Papaz}) \}
\end{align*}
$A\times B$ nin eleman sayısına dikkat edelim. $A$ daki her eleman $B$ de $13$ farklı elemanla eşleştiğinden kartezyen çarpımın eleman sayısı
\[ s(A\times B) = s(A) \cdot s(B) \]
$B\times A$ = $A\times B$ olmasa da eleman sayılarının aynı olacağı açıktır.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
Kartezyen çarpımın küme işlemlerinden birleşme, kesişme ve fark üzerine dağılma özelliği vardır.
$A, B$ ve $C$ üç küme olsun.
- $A\times (B\cup C) = (A\times B) \cup (A\times C)$
- $A\times (B\cap C) = (A\times B) \cap (A\times C)$
- $A\times (B \backslash C) = (A\times B) \backslash (A\times C)$
Kartezyen Çarpım ve Kartezyen Düzlem
Sıralı ikilileri kartezyen koordinatlarda gösterebiliyoruz. İkilinin birinci elemanı için $x$ ve ikinci elemanı için de $y$ koordinatını kullanıyoruz.
Örnek
$A=\{1,2\}$ ve $B=\{a,b,c\}$ olmak üzere $A\times B$ ve $B\times A$ kümelerini kartezyen düzlemde gösteriniz.
Çözüm
* $A\times B$ ve $B\times A$
Eğer küme elemanları böyle sonlu sayıda değilse, bazı zorluklar var. Bir kümenin elemanları bir reel sayı aralığı olarak verilebilir. Örneğin $1\leq x \leq 3$ olabilir:
Örnek
$A=\{x: 1 \leq x \leq 3 \text{ ve } x\in \mathbb{R} \}$ ve $B=\{ a,b \}$ ise $A\times B$ kümesini kartezyen düzlemde gösteriniz.
Çözüm
Burada kartezyen çarpımın içerdiği ikilileri yazamayacağımız açık. Çünkü $A$ kümesi $1$ den $3$ e kadar olan tüm reel sayıları içeriyor ve sonsuz elemanlı. Ancak örneğin $a$ ile eşleşecek ikililerden bir kaç tane düşünelim. $(1,a)$, $(1.2,a)$, $(1.5,a)$ gibi, ve en sonunda $(3,a)$ olacaktır. Demek ki noktaların $y$ koordinatı değişmeyecek ve $x$ koordinatları $1$ den $3$ e kadar tüm sayılar olacak. Bu da, kartezyen düzlemde bir doğru parçasına denk gelmektedir.
Grafikteki doğru parçalarının üstünde alınan herhangi bir noktanın $x$ koordinatı, $1\leq x\leq 3$ eşitsizliğini sağlar. [note1] Tam sınır noktaların örneğin $(1,a)$ nın ya da $(3,b)$ nin vurgulanmasının sebebi bu noktaların dahil olduğunu anlatmak içindir. Örneğin verilen eşitsizlik $1 \lt x \lt 3$ olsaydı bu dairelerin içi boş çizilerek $x$ i $1$ ve $3$ olan noktaların dahil olmadığı anlatılacaktı. [/note]
Örnek
$A=\{x: 1 \lt x \leq 3 \text{ ve } x \in \mathbb{R} \} $ ve $B=\{x: 2\leq x \lt 4 \text{ ve } x\in \mathbb{R}\}$ ise $A\times B$ kümesini kartezyen düzlemde gösteriniz.[note2] İki kümede de $x$ yazması kafa karıştırmamalı, biz orada verilenden bağımsız olarak birinci kümeyi $x$ ve ikinci kümeyi $y$ ekseninde göstereceğiz. [/note]
Çözüm
Burada artık bir dikdörtgen bölge sözkonusu. $x$ koordinatı $1$ le $3$ arasında olan tüm noktalar $(1,3]$ aralığını yukarı ve aşağı taşıyarak, yani $x$ i değiştirmeyip $y$ yi değiştirerek bulunabilir.
Aynı şekilde $y$ koordinatı $[2,4)$ aralığında olan noktalar da, bu aralığı yatay olarak kaydırarak, yani $y$ koordinatlarını değiştirmeyip $x$ koordinatlarını değiştirerek bulunabilir.
Bu bölgelerin kesişiminden alınan $(x,y)$ noktaları için $x \in A$ ve $y \in B$
olacaktır.
