Toplama ve Çıkarma

Toplama ve çıkarmada bir zorluk yok, reel kısımları ayrı, sanal kısımları ayrı toplayacağız ya da çıkaracağız. Örneğin $z_1=2-i$ ve $z_2 = 3+2i$ olsun. Bu durumda \[ z_1 +z_2 = (2-i) + (3+2i) = 5+i\] Çarpmada biraz daha dikkatli olmalıyız çünkü dört terim çıkmakta: \[ z_1\cdot z_2= (2-i) \cdot (3+2i) = 6 + 4i - 3i - 2i^2\] $i^2=-1$ yazarak reel ve sanalları ayrı ayrı toplarsak $8+i$

Eşlenik

Bölmeye geçmeden önce, reel kısımları aynı ve sanal kısımları işaretçe farklı iki karmaşık sayının çarpımına bakalım: $z_1 = a+bi$ ve $z_2 = a-bi$ olsun. \[ z_1 \cdot z_2 = (a+bi)\cdot (a-bi) = a^2-abi+abi - b i^2 \] Orta terimler götürmekte ve ilk ve son terim kalmakta \[a^2 - b i^2 = a^2 + b^2 \] Bu tip iki karmaşık sayıyı çarptığımızda sanal kısım kalmıyor ve reel bir sayı elde ediyoruz. Bir karmaşık sayıyla reel kısmı aynı ve sanal kısmı işaretçe ters olan karmaşık sayıya, o karmaşık sayının eşleniği denmektedir. $z=a+bi$ karmaşık sayısının eşleniği $\overline{z}=a-bi$ dir. Görüldüğü gibi bir $z$ karmaşık sayısının eşleniği için $\overline{z}$ sembolü kullanılmaktadır. Aslında bu bilmemiz gereken bir özdeşliğin karmaşık sayılar konusundaki halidir. Orta terimler şu özdeşlikte de götürmekteydi:\[ (x-y)\cdot (x+y)=x^2-y^2\] Aradaki $-$ işareti $i^2$ den dolayı karmaşık sayılarda $+$ ya dönüşmektedir. Eşlenikle çarpma, paydayı reel hale getirmekte sıklıkla kullanılır. Örneğin:

Örnek

$z=2-i$ sayısının çarpmaya göre tersi nedir?

Çözüm

Bir $a$ sayısının çarpmaya göre tersi $\frac{1}{a}$ dır. Burada da $z$ nin çarpmaya göre tersi $z^{-1} = \frac{1}{2-i}$ dir. Ancak genellikle istenen form bu değildir, payda reel hale getirilmelidir. Eşlenikle genişletirsek: \[ \frac{1}{2-i} = \frac{(2+i)}{(2-i)\cdot (2+i)} = \frac{2+i}{2^2+1^2} = \frac{2+i} {5} \]

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Karmaşık sayılarda reel kısma ayrı, sanal kısma ayrı baktığımızdan iki karmaşık sayı birbirine eşitse bunun anlamı, reel kısımlar birbirine eşit ve sanal kısımlar da birbirine eşit demektir: \[ a + bi = c + di \rightarrow a =c \quad b = d \] Birden fazla reel terim varsa veya birden fazla $i$ li terim varsa onları gruplamaya dikkat etmeliyiz.

Örnek

$(3-4i)\cdot i + a\cdot i -1 = b-3i -c\cdot i +2 $ ise $a+b+c$ toplamı nedir?

Çözüm

Sol ve sağ tarafta reel ve sanal kısımları gruplayalım: \begin{align*} 3i+4 + a \cdot i -1 = (b+2) + (-c-3)i \\ 3 + (3+a)i = (b+2) + (-c-3)i \\ \end{align*} Reel ve sanal kısımları eşitlediğimizde: \[ 3 = b+2 \rightarrow b =1 \] \[ 3+a = -c-3 \rightarrow a+c = -6 \] Böylece $a+b+c = -5$

Örnek

$z-3+2i = 2z-4+i$ ise $z$ nedir?

Çözüm

Bir kaç örnek daha çözeceğimiz bu tip örneklerde birinci yol $z$ yi yalnız bırakmak, ikinci yol ise $z=x+iy$ yazıp karmaşık sayıların eşitliğinden yararlanmaktır. Bu örnekte $z$ yi yalnız bırakmak çok kolay ancak bunun zor olduğu hatta $z=x+iy$ eşitliğini kullanmamız gereken örnekler de vardır. I. Yol: \begin{align*} z-3+2i = 2z-4+i \\ -3+2i+4-i = 2z -z \\ 1+i =z \\ \end{align*} II. Yol: $z$ yerine $x+iy$ yazalım ve iki tarafın reel ve sanal kısımlarını eşitleyelim: \begin{align*} x+iy-3+2i = 2(x+iy)-4+i \\ (x-3) + (y+2)i = (2x-4)+(2y+1)i\\ \end{align*} Buradan reel kısımları eşitleyince \begin{align*} x-3 = (2x-4)\\ x = 1\\ \end{align*} Sanal kısımları eşitleyince \begin{align*} y+2 = 2y+1\\ y = 1\\ \end{align*} Karmaşık sayımız $z=x+iy = 1+i$ olur.

Örnek

$\frac{z+1}{2}= z \cdot i -2 $ ise $z$ nedir?

Çözüm

I. Yol: \begin{align*} z+1 = 2z \cdot i -4 \\ 1+4 = 2z \cdot i - z \\ 5 = z \cdot (2i-1) \\ \frac{5}{2i-1} = z \\ z = \frac{5\cdot (2i+1)}{(2i-1)\cdot (2i+1)} \\ z = \frac{5\cdot (2i+1)}{-5}\\ =-2i-1\\ \end{align*} II. Yol \begin{align*} \frac{z+1}{2} = z \cdot i -2 \\ \frac{x+iy+1}{2} = (x+iy) \cdot i -2 \\ \frac{x+iy+1}{2} = x \cdot i - y - 2\\ \frac{x+1}{2}+\frac{i\cdot y}{2} =(- y - 2) + x \cdot i \\ \end{align*} Reel kısımları eşitlersek \begin{align*} \frac{x+1}{2} = -y-2\\ x+1 = -2y-4 \\ x+2y = = -5 \text{ (1) } \end{align*} Sanal kısımları eşitlersek \begin{align*} \frac{y}{2} = x \\ y = 2x \text{ (2) } \end{align*} İki denklemi birleştirirsek $x=-1$ ve $y=-2$ çıkar ve $z=-1-2i$ olur.

Örnek

$\overline{z}-2i+3=2z+2-8i$ ise $z$ nedir?

Çözüm

Bu soruda $z$ yi yalnız bırakamayız çünkü soru $\overline{z}$ yi de içermektedir. Dolayısıyla $z=x+iy$ yazmalıyız. Tanımı gereği, $z$ nin eşleniği $\overline{z}=x-iy$ dir. \begin{align*} \overline{z}-2i+3 = 2z+2-8i \\ (x-iy)-2i+3 = 2(x+iy)+2-8i \\ (x+3) + i(-y-2)= (2x+2)+i(2y -8)\\ x+3 = 2x+2 \text{ ve }& -y-2=2y-8 \\ \end{align*} Buradan $x=1$ ve $y=2$ çıkar, $z=1+2i$ dir.