$x^2+1=0$ denklemini sağladığı varsayılan $i$ sayısına sanal (imajiner) birim denir. Karmaşık sayı, bir reel ve bir de sanal kısımdan oluşur ve $a+bi$ şeklinde gösterilir.
Her reel sayıyı, sanal kısmının katsayısı $0$ olan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$, reel sayılar kümesi $\mathbb{R}$'yi kapsar.
Kök derecesi çiftken içerde negatif sayı bulunduğunda sayı reel olmuyordu. Şimdi artık bu sayıları, karmaşık sayılar kümesi içine dahil edebiliriz. $\sqrt{-1}=i$ yazıp bu sayıları bir karmaşık sayı biçiminde gösteriyoruz.

\[ \sqrt{-3}=\sqrt{(3)\cdot (-1)}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}\cdot i\]
Reel olmayan bu karmaşık sayılarda, $i$'li forma çevirmeden çarpma yapamayız:
\[ \sqrt{-3} \cdot \sqrt {-3} \neq \sqrt{(-3)\cdot (-3}=\sqrt{9} = 3 \]
Önce $\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$ yapmalıyız.
\[ \sqrt{-3} \cdot \sqrt {-3} = \sqrt{3}i \cdot \sqrt{3}i = 3 i^2 = -3 \]
$i$'nin kuvvetleri:
Tanım gereği $i^2=-1$'dir.
\[ i^3 = i^2\cdot i = -i \]
\[ i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1 \]

Örnek


$i^{1001}$ işleminin sonucu nedir?

Çözüm


$i^4=1$ olduğundan $i$'nin üssü dörde bölünür ve kalan alınır. $1001 \div 4$ işleminde kalan $1$'dir. $i^{1001}=i^1$ dir. Bunun sebebi $i^{1001}$ in üssü dörde bölününce şu şekilde yazılabilmesidir: \[ i^{1001}= (i^4)^{250}\cdot i^1 = i\]

Örnek


$i+i^2+i^3+\cdots i^{59}$ işleminin sonucu nedir?

Çözüm


Bu toplamda ilk dört terimin toplamı birbirini yok etmektedir. \[ i + i^2 + i^3 + i^4 = i + -1 + -i + 1 =0\]
Bundan sonraki dört terim de aslında ilk dört terimle aynıdır, çünkü $4$ e bölüp kalan alırsak üsler gene $1,2,3,4$ çıkar. $i^5 + i^6 + i^7 + i^8 = i + i^2 + i^3 + i^4 =0$
Bize verilen son terim $i^{59}$ olduğundan son dörtlük tam değildir \[i^{57} + i^{58} + i^{59} = i + i^2 + i^3 =-1\]

Bilmemiz gereken iki kare var:

1. $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$
2. $(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$

Örnek


$(1-i)^{201}$ işleminin sonucu nedir?

Çözüm


Üssü $2$ ye böldüğümüzde, bölüm $100$ ve kalan $1$ dir:
\begin{align*}
(1-i)^{201} = \left( (1-i)^2 \right)^{100} \cdot (1-i) & = (-2i)^{100} \cdot (1-i) \\
&= 2^{100} i^{100} \cdot (1-i)\\ &=2^{100} \cdot (1-i)\\
\end{align*}