Karmaşık sayıların ortaya çıkışındaki bir motivasyon da, çözümü olmayacak polinom bırakmamaktır. Bir denklem kaçıncı dereceden olursa olsun, karmaşık sayıları da işin içine katarsak kesinlikle çözümü vardır ve kök sayısı derece kadardır. Örneğin ikinci derece bir denklemin kökleri her zaman vardır ve iki tanedirler. Daha önce, ikinci derece denklemler konusunda $\Delta \lt 0$ çıktığında denklemin reel kökü yoktur sonucuna ulaşarak duruyorduk, şu an artık devam edip karmaşık sayı olan bu kökleri bulabiliriz. İkinci derece denklemin köklerini veren formül $\Delta$ negatif olsa da geçerlidir. Formülleri hatırlayalım: $ax^2+bx+c=0$ şeklindeki bir ikinci derece denklem için \[ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{ ve } \Delta = b^2-4ac \]

Örnek

$x^2+x+1=0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm

$\Delta = b^2-4ac = 1-4=-3$ \[ x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}\] $\sqrt{-1}$ yerine hemen $i$ yazmaya dikkat edelim. Kökleri veren formülde dikkat edersek $\Delta$ nın önünde $\pm$ var. Reel katsayılı bir denklem için reel olmama ihtimali olan kısım $\Delta$. Örnekte de gördüğümüz gibi bunun anlamı, sanal kısmın işaretinin bir $+$ bir $-$ olması, yani köklerin eşlenik olmasıdır. Örneğimizde \[ x_1=\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\text{ ve } x_2=\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\] Denklem reel katsayılı ise, köklerin biri verilse bile denklemi yazabiliriz. Çünkü diğer kök verilenin eşleniğidir. Bir ikinci derece denklemi yazmak için kökler toplamı \textbf{T}ve kökler çarpımı \textbf{Ç} yi bulmamız yeterli idi. En basit denklem $x^2-\textbf{T}x+\textbf{Ç}=0$ biçiminde idi.

Örnek

Köklerinden biri $1-3i$ olan ikinci derece bir denklem yazınız.

Çözüm

$x_1=1-3i$ olduğundan $x_2=1+3i$ dir. \[ x_1+x_2=2 \text{ ve } x_1\cdot x_2=(1-3i)(1+3i)=1+9=10\] Dolayısıyla denklem: \[ x^2-\textbf{T}x+\textbf{Ç}=x^2-2x+10=0 \] Yukarıdaki denklem bu kökleri sağlayan tek denklem değildir. Bu denklemin bir sayı ile çarpılmış hali de kökleri sağlar. Yani en genel denklem $a(x^2-2x+10)$ dur.