Bir denklemin diskriminantı ($\Delta$ ile gösteriliyor) reel kökleri hakkında bilgi verir. Delta formülünün ispatını sayfa sonunda göstereceğiz. Biraz karışık görünse de, ispatı anlamak sadece çarpanlara ayırma bilgisi gerektiriyor. $\Delta$ bize ikinci derece bir denklemin iki reel kökü mü var, bunlar farklı mı eşit mi veya hiç reel kökü yok mu, bunları gösteriyor.

Delta değeri ve kök sayısı

Önce $\Delta$ yı nasıl hesaplayacağız. \[\Delta=b^{2}-4ac\] Bir kaç örnek yazalım, örneğin cevabını bildiğimiz bir soru yazalım. Denklemimizin kökleri $1$ ve $2$ olsun. Denklem: \[ x^{2}-3x+2=0\] Burada $a=1$, $b=-3$ ve $c=+2$ dir. Buna göre \[ \Delta=b^{2}-4ac=1\] Yani $\Delta>0$ dır. Denklemin iki farklı reel kökü vardır, ki zaten biliyoruz. Bir tane de tam kare yazalım. Yani iki kökümüz olsun ancak ikisi de aynı olsun, örneğin 3 olsun. \[ (x-3)(x-3) \] Dağıtırsak $x^2-6x+9$ çıkar ve \[ \Delta=b^2-4ac=36-4\cdot 9\] $\Delta=0$ çıkar.

Örnek

$x^2-(a+1)x-a+2=0$ denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre a'nın alabileceği değerler toplamı nedir?

Çözüm

Çakışık dendiğine göre $\Delta=0$. Denklemde $a=1$, $b=-(a+1)$ ve $c=-a+2$ çıkar. Demek ki \[\Delta=(-(a+1))^2-4(-a+2)=a^2+6a-7\] $\Delta=0$ olduğuna göre bu ifadeyi $0$'a eşitleyip a'yı çözmeliyiz. \[ a^2+6a-7= (a+7)(a-1)=0 \] Yani $a=-7$ ve $a=1$ ve toplamları da $-6$. Bir şeye dikkat edelim. Aslında \[ a^2+6a-7=0 \] ifadesini çözmemize gerek yok. Nasılsa bize $a$ değerleri değil toplamları soruluyor. Bu ifade de aslında $a$ ya bağlı bir ikinci derece ifade ve $\frac{-b}{a}$ yı buraya da uygulayabiliriz. \[ \frac{-b}{a}=\frac{-6}{1}=-6 \] Çarpanlara ayıramayacağız bir ifade çıkarsa bu noktaya dikkat etmeliyiz.

Alıştırmalar

1. $(2m+1)x^{2}-mx-m-1=0$ denkleminin iki kat kökü olmasını gerçekleyen $m$ değerleri toplamı kaçtır? 2. $x^{2}-(4-a)x+a-5=0$ denkleminin birbirine eşit iki reel kökü olduğuna göre, $a$ kaçtır? 3. $mx^{2}-(-m-1)x+1=0$ denklemi için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? (A) Farklı iki reel kökü vardır. (B) $m=1$ için çakışık iki kök vardır. (C) $m=1$ için iki reel kök vardır. (D) $m\neq0$ için iki farklı reel kök vardır. (E) $m\neq0$ için iki çakışık kök vardır. 4. $(x-m)^2+m-3=0$ denkleminin iki farklı reel kökü olması için $m$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir? 5. $x^2-x+m=0$ denkleminin reel kökü olmadığına göre $m$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Delta'nın Diğer Görevi ya da Kökler Formülü

$\Delta$ ile ilgili, ifade çarpanlara ayrılıyorsa kullanmayacağımız bir şey daha var. Bir ikinci derece ifadenin köklerini bulmak için şu formülü kullanabiliriz: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \] Birinci kök için aradaki işareti $+$, ikinci kök için $-$ alacağız. Geçerken kökler ve katsayılar arasındaki bağıntılardan bir tanesini daha çıkarabiliriz. \[ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{a} \] olduğundan kökler farkı: \[ |x_1-x_2| =\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \]

Örnek

$x^2-2x-6$ denkleminin iki kökünü bulunuz.

Çözüm

$\Delta=2\sqrt{7}$. Formülü uygularsak $x_{1}=1-\sqrt{7}$ ve $x_{2}=1+\sqrt{7}$ çıkar.

Örnek

İkinci derece bir denklemin bir kökü $1-\sqrt{3}$ ise bu denklemin kökler çarpımı nedir?

Çözüm

Formülü incelersek şu sonucu çıkarırız. Rasyonel katsayılı bir denklemde(a,b ve c rasyonel ise), bir kök $1-\sqrt{3}$ ise diğer kök $1+\sqrt{3}$ olmak zorundadır. Kökler toplamı \[ x_1+x_2=1-\sqrt{3}+1+ \sqrt{3}=2\] ve kökler çarpımı \[ x_1\cdot x_2=(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2\] Bu arada denklem $a\cdot (x^{2}-2x-2)=0 $ şeklindedir.

Delta ve Kökler Formülü İspatı

\[ ax^2+bx+c=a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) =0 \] Önce baştaki $a$ katsayısından kurtulduk. Eğer $ax^2 + bx + c =0$ ifadesini sağlayan bir $a$ değeri varsa, bu ifade $x^2 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}=0$ ı da sağlamalıdır. Bu nokta sayısal olarak zaten konunun başında anlatılmıştı. İspatın sonraki adımı için çarpanlara ayırmada işlenen terim ekleyip çıkararak tam kare yapmayı hatırlamalıyız. Örneğin \[ x^2 - 4x + 7\] ifadesinde tam kare bir terim elde etmek için sadece $x^2$ ve $-4x$ e bakılır ve bunların hangi tam kareden çıkacağı düşünülür. \[ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 \] olduğundan $x$ li terimin katsayısı ikiye bölünür. Yani $(x^2-4x)$ ifadesi $(x-2)^2$ si açılırsa çıkar. Bunun gibi, \[ x^2 + \frac{b}{a}x \] ifadesi de \[ (x + \frac{b}{2a} )^2\] ifadesi açılırsa çıkar. Ancak tam açtığımızda son terim $(\frac{b}{2a})^2$ dir. Dolayısıyla bunu çıkarmalıyız: \begin{align*} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \\ &= (x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^2-4ac}{4a^2}) \\ &\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ &\Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac}} {2a}\\ &\Rightarrow x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac}} {2a} \end{align*} Bu da bildiğimiz kökler formülüdür. Bu formülde köklü ifadenin içi negatif olamayacağından önemlidir ve katsayılar arasında belli bir ilişki olmadığında kökün reel olamayacağını gösterir. Bu ifade tanıdığımız gibi $\Delta$ dır.