Üslü, rasyonel, köklü veya mutlak değer içeren bazı ifadelerde dikkat edilmesi gereken bir kaç nokta var.

Örnek

9x-3x-6=0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

$3^{x}=t$ olarak düşünürsek denklem $t^{2}-t-6=0$'a dönüşür. Çarpanlarına ayırırsak \[ (t-3)(t+2)=0\] olur. Buradan $t=3$ ve $t=-2$ çıkar. $3^{x}=t$ olduğuna göre $3^{x}=3$ ve $3^{x}=-2$ olur. Bu denklemlerin ilkinden $x=1$ çıkar ancak $3^{x}=-2$ olamayacağı için bu eşitlik bir kök vermez. Dolayısıyla çözüm kümesi $\{3\}$'tür.

Örnek

$\sqrt{x}-2=x-8$ denkleminin kökler toplamı nedir?

Çözüm

Bu tip denklemlerde köklü ifadeyi yalnız bıraktıktan sonra iki tarafın karesi alınır. \begin{align*} \sqrt{x} &=x-6 \\ (\sqrt{x})^2 &= (x-6)^2 \\ x^{2}-13x+36 &=0 \\ \end{align*} Buradan $x=9$ ve $x=4$ çıkar. Kökler toplamı $13$'tür demek yanlış oluyor. Çünkü bize verilen denklemde yerine koyduğumuzda $4$ denklemi sağlamıyor. Bunun teknik sebebi $\sqrt{x}=x-6 $ denkleminde yatıyor. Sol taraf yani $\sqrt{x}$ negatif olamayacağından sağ tarafın da negatif olmaması gerekir. Yani $x-6\ge0$ dır. Yani $x=4$ olamaz. Teorik çözüm uzun olduğundan bu tip köklü denklemlerde bulunan değerlerin ilk denklemde yerine yazılması daha pratiktir.
Bir tane de rasyonel çözelim:

Örnek

$\frac{x^{2}-6x+8}{x^{2}-4}=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Verilen ifadenin $0$ olması demek payının $0$ olması demektir. $x^{2}-6x+8=0$ ifadesini çözersek $x=2$ ve $x=4$ buluruz. Burada da dikkat etmemiz gereken şey bulduğumuz değerlerin paydayı $0$ yapmamasıdır. Çünkü paydası $0$ olan rasyonel bir ifade tanımsızdır. $x=2$ paydayı $0$ yapıyor. Demek ki çözüm kümesi $\{4\}$'tür.
Bir de mutlak değer içeren ifade çözelim:

Örnek

$x|x-2|=24$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Bu denklemi $x(x-2)=24$ kabul edip çözersek $x=6$ ve $x=-4$ buluruz. Mutlak değer içeren ilk ifadeye $-4$'ü yazdığımızdaysa sağlamadığını görürüz. Burada da köklü ifadelerdeki gibi bulunan köklerin verilen denklemde yerine yazılması çoğu durumda pratiktir. Ancak klasik yollarla neden $-4$'ün denklemi sağlamadığını anlayalım. Verilen ifadeden iki denklem sistemi çıkar: \[x\geq0 \text{ ise } |x-2|=x-2 \text{ olur ve denklem } x(x-2)=24\] Bu denklemin kökleri 6 ve -4'tür. Ancak -4'ü alamayız çünkü bu denklem $x\geq0 $ için geçerlidir. Aynı şekilde \[x\leq0 \text{ ise } |x-2|=-x+2 \text{ olur ve denklem } x(-x+2)=24\] Bu denklemi dağıtıp düzenlersek $\Delta<0$ dır. Dolayısıyla buradan reel bir kök çıkmaz.

Alıştırmalar

  • $2^{2x+1}-2^{x}-3=0$ ifadesinin çözüm kümesi nedir?
  • Köklerinden biri $-\sqrt{2}-1$ olan ikinci derece denklemi yazınız.
  • $x=1+\sqrt{5-x^{2}}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
  • $x|x|+3x-4=0$ denkleminin köklerini bulunuz.
  • $\frac{x^2-4x-5}{x^2-2x-3}=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?