Asal Çarpanlar

Bir pozitif tamsayı (1'den büyük) ya asal bir sayıdır ya da asalların birbiri ile çarpılmasından oluşmuştur. Örneğin $8$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3$ tür. $8$ in bir tane asal çarpanı vardır ve $2$ dir. $72$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3 3^2$ dir. $72$ nin iki tane asal çarpanı vardır: $2$ ve $3$. $72$ yi tam bölen sayıları düşünelim. Örneğin $1,2,3,4,6,8,9 \cdots$ sayıları $72$ yi tam bölerler. Ancak bu sayıların tam olarak kaç tane olduklarını bulmak için bir formül kullanacağız. Bir pozitif tam sayının asal çarpanlara ayrılmış hali \[ x^a y^b z^c \cdots \] ise bu sayının pozitif tam bölenleri sayısı \[ (a+1) (b+1) (c+1) \cdots \] Sayıyı asal çarpanlara ayırdıktan sonra üslere $1$ ekleyerek çarpıyoruz. Örneğin $72 = 2^3 \cdot 3^2 $ olduğundan üslere $1$ ekleyip çarparsak $(3+1)(2+1) = 12 $ dir. $72$ yi bölen pozitif tamsayılar $12$ tanedirler. $8 = 2^3$ üsse $1$ ekliyoruz ve çarpacak başka bir şey olmadığından $4$ tane pozitif tam bölen olduğunu buluyoruz. $120 = 2^3\cdot 3 \cdot 5 $ üslere $1$ ekleyip çarparsak $(3+1) (1+1) (1+1) = 16$ tane pozitif tam böleni vardır. Dikkat edelim formül sadece pozitif tam bölenlerin sayısını vermektedir. Pozitifler kadar negatifler de vardır. Tüm tam bölenlerin sayısı bulduklarımızın $2$ katıdır. Daha zor örneklere geçmeden bir kaç noktayı belirtelim. Asal tam bölenleri sayısı dendiğinde formüle falan gerek yok. Zaten asal çarpanlara ayırdığımızda bunları görüyoruz. Örneğin $72 = 2^3 3^2$ olduğundan asal bölenler ( ya da çarpanlar) iki tanedir ve bunlar $2$ ve $3$ tür. Dolayısıyla asal olmayan pozitif tam bölenleri sayısı dendiğinde de pozitif tam bölenlerin sayısından bunları çıkarmalıyız. $72$ nin pozitif tam bölenleri $12$ tane idi, bunlardan iki tanesi asaldır. Dolayısıyla asal olmayan pozitif tam bölenleri $10$ tanedirler. Asal olmayan tam bölenleri sayısı dendiğinde dikkat edelim. Tüm tam bölenler sorulduğunda pozitif tam bölenleri $2$ ile çarpıyoruz. Asal olmayan tam bölenler dendiğinde asal olmayan pozitifleri iki ile çarpmayacağız. Önce tüm tam bölenleri bulup bunlardan asal olan tam bölenleri çıkaracağız. Örneğin $10$ tane asal olmayan pozitif tam böleni olduğunu bulduk. Bunu iki ile çarpıp $72$ nin asal olmayan tam böleni sayısı $20$ dir demeyeceğiz, çünkü bu durumda asalların negatiflerini de ($-2$ ve $-3$) atmış oluyoruz. $72$ nin asal olmayan tam böleni sayısı \[ 2 \cdot 12 - 2 = 22 \]

Örnek

$120$ sayısının
  1. Pozitif tam bölenleri sayısı
  2. Tam bölenleri sayısı
  3. Asal tam bölenleri sayısı
  4. Asal olmayan pozitif tam bölenleri sayısı
  5. Asal olmayan tam bölenleri sayısı
  6. $5$ ile bölünen tam bölenleri sayısı
  7. Tek tam bölenleri sayısı
  8. Pozitif çift tam bölenleri sayısı
kaç tanedir?

Çözüm

\[ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \]
  1. Pozitif tam bölenleri sayısı üslere $1$ ekleyip çarparsak $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ tanedir
  2. Tam bölenleri sayısı pozitiflerin iki katıdır, $32$
  3. Asal tam bölenler zaten görünmektedir $2$, $3$ ve $5$ tir ve $3$ tanedirler.
  4. Pozitif tam bölenlerden asal olanları çıkarırsak asal olmayan pozitif tam bölenleri buluruz: $16-3 = 13$
  5. Tüm tam bölenlerden asalları çıkarırsak asal olmayan tam bölenleri buluruz: $32 - 3 = 29$
  6. Bu seçeneği anlayabilmek için bu formülün bize neyi verdiğini daha iyi incelemeliyiz. Örneğin yukarıda $120$ nin $2,2,2,3,5$ sayılarından oluştuğunu gördük. $120$ nin bir çarpanını oluşturmak için bu sayılardan keyfi seçip birbiri ile çarpmalıyız. Örneğin $2$ yi alabiliriz. $2$ ve $3$ ü beraber alıp $6$ oluşturabiliriz. İki tane $2$ ve bir tane $5$ alıp $20$ oluşturabiliriz. Hiç birini almayız bu durumda $1$ oluşmuş oluyor. Bu şekilde oluşturabileceğimiz tüm farklı sayılar $120$ nin pozitif tam bölenidir ve bunlar formülle bulduğumuz gibi $16$ tanedirler. Şimdi $5$ in katı olan sayılar oluşturmaya çalışalım. Örneğin $5$ i yalnız alırız. $5$ ve $2$ alırız, $5$ ve $3$ alırız vs... Aslında yaptığımız şey $5$ dışında kalan sayılarla farklı çarpanlar oluşturmaktır. Çünkü $5$ e bölünen sayı oluşturmaya çalıştığımızdan $5$ i kesin almalıyız. Yani kalanlarla ne yapabiliyoruz aslında ona bakmalıyız. $5$ i ayıralım ve kalan çarpanlara bakalım: \[ 2^3 \cdot 3 \] Bu çarpanlarla kaç farklı sayı oluşturabiliriz. Bu sayının pozitif tam bölenlerini bulalım, $4 \cdot 2 = 8$. Bu çarpanlarla $8$ farklı sayı oluşacağından $5$ e tam bölünen $8$ farklı pozitif tam bölen vardır. Demek ki bir $a$ sayısına bölünen pozitif tam bölenleri bulurken asıl sayının asal çarpanlarından $a$ yı ayırıyoruz ve kalanlarla kaç farklı sayı oluşturabiliriz ona bakıyoruz.
  7. Tek tam bölen oluşturmak için hiç $2$ çarpanı alamayız. Dolayısıyla tüm $2$ leri atıp kalanlarla kaç çarpan oluşuyor ona bakalım. Tüm ikileri atarsak $3 \cdot 5$ kalır. Bu sayının pozitif tam bölenleri $2\cdot 2 =4$ olduğundan $120$ nin pozitif tek tam bölenleri $4$ tanedir. Tek tam bölenleri sorulduğundan $2 \cdot 4 = 8$ olur.
  8. Pozitif çift tam bölenlerini bir kaç yoldan bulabiliriz. I. Yol Pozitif çift tam bölenler = Pozitif tam bölenler - Pozitif tek tam bölenler Tamamından tekleri çıkarırsak çiftler kalır. $16 - 4 = 12$ olur. II. Yol Aynen $5$ in katı olan bölenler oluştururken nasıl $5$ i ayırıp kalanlarla ne yapabileceğimize baktıysak burada da bir tane $2$ yi ayırıp kalanlarla ne yapabiliriz ona bakabiliriz \[ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \] Bu sayının pozitif tam bölenleri $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 $ tanedir ve $120$ nin çift pozitif tam bölenlerine eşittir.

Faktöryel

Bildiğimiz gibi faktöryel "!" işareti ile gösteriliyor ve bir pozitif tam sayıdan $1$ e kadar tüm tamsayıların çarpımını ifade ediyor. Örneğin $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =120$ dir. Kombinasyon konusunda nedeni anlatılan teknik bir sebeple $0! = 1$ olarak tanımlıdır ve negatif tam sayılar için faktöryel tanımlı değildir. Hesaplayamayacağımız kadar büyük bir faktöryel içinde, örneğin $120!$ içinde kaç tane $5$ çarpanı var ya da kaç tane $2$ çarpanı var bunu nasıl bulabiliriz? $120!$ in açık halini düşünelim \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots 10 \cdots 15 \cdots 20 \cdots 25 \cdots 120 \] Yukarıda toplam kaç tane $5$ çarpanı var bunu araştırıyoruz. $5$ e bölünen sayılar beşer beşer giderler, $5,10,15,20, \cdots ,120 $. Bunlar $120 \div 5 = 24$ tanedirler. Dolayısıyla en az $24$ tane $5$ var bunu anladık. Ancak bu sayılardan bazılarında iki tane $5$ çarpanı var, örneğin $25, 50, 75, 100$. İki tane $5$ çarpanı olanlar aslında $25$ e bölünenler demektir. Yani $120 \div 25 = 4$. Bu $4$ sayıdaki ikinci $5$ i saymadık bunları da eklersek $29$ tane $5$ bulduk. Aslında $120$ yi $25$ e böleceğimize zaten bir kere bölmüştük ve $24$ çıkmıştı, bu sayıyı tekrar $5$ e bölebilirdik böylece $120$ yi $25$ e bölmüş olacaktık: $24 \div 5 = 4$ Bir faktöryel içindeki $a$ asal çarpanlarının sayısını bulmak için bu faktöryel $a$ sayısına bölünür, elde edilen bölümler de $a$ ya bölünür ve en sonunda bu bölümler toplanır. Örneğin $100! $ içindeki $3$ çarpanları için $100 \div 3 = 33$, $33 \div 3 = 11 $, $11 \div 3 = 3$, $3 \div 3 = 1$ elde edilen bölümleri toplarsak $33 + 11 + 3 + 1 = 48$ tane $3$ çarpanı olduğunu bulduk. \[ 100! = 3^{48} \cdot A \]