1. $\displaystyle\sum_{k=1}^n c = c + c + \cdots +c = n\cdot c \quad (c \in \mathbb{R})$
  2. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots + n =\frac{n(n+1)}{2} $
  3. $\displaystyle \sum_{k=1}^n 2k-1 = 1 +3+\cdots + 2n-1 = n^2 $
  4. $\displaystyle \sum_{k=1}^n 2k = 2+4+\cdots + 2n = n (n+1) $
  5. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
  6. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 $
  7. $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1} $
  8. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)=1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots +n\cdot(n+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
  9. $\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{k-1} = 1 + r+ r^2 + \cdots r^{n-1}= \frac{1-r^n}{1-r}$
  10. $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}= \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\cdots + \frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$
  11. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k\cdot k!=1\cdot 1! + 2\cdot 2! + \cdots +n\cdot n!= (n+1)!-1$
Bu formüllerin hem toplam formülü ile kısaltılmış hallerini hem de açık halde hangi toplamı ifade ettiklerini bilmek durumundayız. Toplam formülünün özelliklerini de açıklayarak adım adım bu formülleri nasıl kullanacağımızı görelim. Öncelikle içerdeki bir çarpan dışarı çıkabilir. Örneğin $\sum 3k = 3 \sum k$ dır. İkinci olarak, toplam sembolü toplama ve çıkarma üzerine dağılır. Bu iki özelliği içeren bir örnek:

Örnek

\[ \sum_{k=1}^{12} 3k^2 + k^3 \] toplamının değeri nedir?

Çözüm

İki özelliği uygularsak \begin{align*} \sum_{k=1}^{12} 3k^2 + k^3 &= \sum_{k=1}^{12} 3k^2 + \sum_{k=1}^{12} k^3 \\ &= 3 \sum_{k=1}^{12} k^2 + \sum_{k=1}^{12} k^3\\ &= 3 \frac{12\cdot 13 \cdot 25}{6}+ \left[\frac{12\cdot 13}{2}\right]^2 \\ &= 8034 \end{align*}
Toplam sembolü çarpma üzerine dağılmaz, $\sum (k+1)(k-1) \neq \sum(k+1) \cdot \sum (k-1)$. Bu durumda çarpmayı yapmak durumundayız.

Örnek

$\displaystyle\sum_{k=1}^{30} (k-1)(k+2)$ toplamının değeri nedir?

Çözüm

\begin{align*} \sum_{k=1}^{30} (k-1)(k+2) &= \sum_{k=1}^{30} k^2 + k-2 \\ &= \sum_{k=1}^{30} k^2 + \sum_{k=1}^{30} k- \sum_{k=1}^{30} 2 \\ &= \frac{30\cdot 31 \cdot 61}{6}+ \frac{30\cdot 31}{2}- 30\cdot 2 \\ &= 9860 \end{align*}
Tüm formüllerde alt sınır $k=1$ dir, indis $1$ den başlamazsa bazı ayarlamalar yaparak $1$ den başlatıyoruz. Alt sınırı $1$ den başlatmak için $c$ eklememiz gerekiyorsa üst sınıra da bu sayıyı ekliyoruz ve içerde $k$ gördüğümüz yere $k-c$ yazıyoruz. ?

Not

Yani içerde tersini yapıyoruz. Örneğin $k$ yı $1$ e indirmek için $2$ eklemişsek içerde $k = k-2$ dönüşümü yapıyoruz.

Örnek

$\displaystyle\sum_{k=3}^{20} (k+1)\cdot k $ toplamının değeri nedir?

Çözüm

Alt sınırı $1$ yapmak için $2$ çıkarmalıyız, aynısını üst sınıra da yapıyoruz ve içerde de $k=k-2$ dönüşümü yapıyoruz. \begin{align*} \sum_{k=3}^{20} (k+1 )\cdot k &=\sum_{k=1}^{18} (k-2+1)\cdot (k-2)\\ &= \sum_{k=1}^{18} (k-1)\cdot (k-2)\\ &= \sum_{k=1}^{18} k^2 - 3k +2 \\ &= \sum_{k=1}^{18} k^2 - 3k +2\\ &= \sum_{k=1}^{18} k^2 - 3 \sum_{k=1}^18 k +\sum_{k=1}^{18} 2\\ &= \frac{18 \cdot 19 \cdot 37}{6}-3\frac{18\cdot 19}{2} + 2\cdot 18\\ &= 1632 \end{align*}

Örnek

$\displaystyle\sum_{k=-2}^{23} (2k-1)(k+1)$ toplamının değeri nedir?

Çözüm

Alt sınırı $1$ yapmak için $3$ eklemeliyiz. Demek ki içerde $k=k-3$ dönüşümü yapmalıyız. \begin{align*} \sum_{k=-2}^23 (2k-1)(k+1) &= \sum_{k=1}^{26} (2[k-3]-1)([k-3]+1)\\ &= \sum_{k=1}^{26} (2k-7)(k-2)\\ &= \sum_{k=1}^{26} 2k^2 -11k +14 \\ &= 2 \sum_{k=1}^{26} k^2 -11 \sum_{k=1}^{26} k + \sum_{k=1}^{26} 14 \\ &= 2 \frac{26\cdot 27\cdot 53}{6}-11 \frac{26\cdot 27}{2} + 14 \cdot 26 = 8855 \end{align*}

Örnek

$1\cdot 2 + 4\cdot 3 + 9\cdot 4 + \cdots + 169 \cdot 14$ toplamının değeri nedir?

Çözüm

Terimlerde ilk çarpanlar $1^2,2^2,3^2, \dots 13^2$ şeklinde gitmektedir. İkinci çarpan hep bir arttığından toplam şöyle ifade edilebilir: \[ \sum_{k=1}^{13}k^2 (k+1)\] Bundan sonra toplama üzerine dağılma özelliği ve formülleri kullanılarak sonuç hesaplanabilir. Formülleri her zaman kullanmak uzun olabilir. Önce Gauss yöntemini hatırlayalım. Artışın sabit olduğu bir toplamda cevap \[ \frac{\text{ilk terim } + \text{ son terim}}{2} \times \text{Terim sayısı}\] Ayrıca terim sayısı formülü: \[ \text{Terim Sayısı}= \frac{\text{Son Terim}-\text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}}+1\] Toplamı tersten alt satıra yazdığımızda alt alta gelen sayıların toplamı hep son terimle ilkin toplamı olmaktadır. Bunun sebebi artışın sabit olmasıdır. Örnekte üst satırda ardışık terimler $3$ artarken alt satırda $3$ azalmakta. Bu iki satırın toplamı için ilk ve son toplamını terim sayısı ile çarpmalıyız. \begin{align*} \sum &= 5 + 8 + 11 + \cdots +74\\ &= 74 + 71 + 68 + \cdots +5 \\ &= \underbrace{79 + 79 + 79 + \cdots +79}_{\text{Terim sayısı kadar}} \end{align*} Örneğin: $5+8+11+\cdots + 74$ toplamı için önce terim sayısını bulalım \[ \text{Terim Sayısı}= \frac{74-5}{3}+1=24\] Toplamın değeri formülden \[ \frac{\text{ilk terim } + \text{ son terim}}{2} \times \text{Terim sayısı} = \frac{79\cdot 24}{2}=948 \]
Bunun yanında kareli ve küplü terim içeren sorularda da alt indisi değiştirmeden önce açık toplama bakmak iyidir. Örneğin

Örnek

$\displaystyle\sum_{k=-20}^{21} k^3 $ toplamının değeri nedir?

Çözüm

İndis değiştirmeye kalksak içerde $k=k+21$ dönüşümü yapıp bir binom açılımı yapmak gerekecek. Bunun yerine terimleri yazmaya başlayalım: \[ \sum_{k=-20}^{21} k^3 = (-20)^3 + (-19)^3 + \cdots + (21)^3 \] $-20$ den $+21$ e kadar olan sayıların küpleri toplanmakta, karşılıklı ters işaretli terimler birbirini götüreceğinden cevap $21^3= 9261$

Örnek

$6\cdot 7 + 7\cdot 8 + \cdots + 99\cdot 100$ toplamının değeri nedir?

Çözüm

Toplam $1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + 99 \cdot 100$ olsaydı formüle göre cevap \[ \frac{100\cdot 101 \cdot 102}{4} =257550 \] Sorulan toplam $6\cdot 7 $ ile başlıyor. Olmayan terimler: \[1 \cdot 2 + \cdots +5\cdot 6 = \frac{6\cdot 7 \cdot 8}{4}=84\] Cevap $257550-84=257466$