Türev Tanımı


Türev, bir fonksiyona belli bir noktasından çizilen teğetin eğimini verir. Bu nokta türev hakkında öğreneceğimiz ilk bilgidir. Elimizde sadece fonksiyonun kendisinin olduğunu düşünelim. Sadece fonksiyonu kullanarak herhangi bir $(x_0,y_0)$ noktasından teğet çizmek istiyoruz. Yapabileceğimiz tek şey $x_0$ dan biraz uzaklaşıp ($h$ kadar) fonksiyon üstünde yeni bir nokta ( $x_0+h,f(x_0+h)$) bulmaktır. Bu iki noktadan geçen doğru parçasının eğimi $h$ ı küçültürsek gittikçe $x_0$ dan geçen teğetin eğimine yaklaşır. Aşağıda bu durum görülmektedir.

Göründüğü gibi teğetle, eğri üstünde $x_0$ a $h$ uzaklıktaki doğru parçası $h$ küçüldükçe birbiri üzerine oturmaktadır. $h$ ı mümkün olduğunca $0$ a yakın seçersek teğetin eğimine o kadar yaklaşırız. Bu durumda teğet eğimi ve bir fonksiyonun belli bir $x_0$ noktasındaki türevi $f'(x_0)$ ile gösterilir ve aşağıdaki limittir:

\[ f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]

Örnek


$y=x^2$ parabolüne, parabol üstünde apsisi $2$ olan noktadan çizilen teğetin denklemini bulunuz.

Çözüm


Teğet bir doğrudur ve denklemini yazabilmek için eğim ve bir noktasına ihtiyacımız var. Teğet fonksiyona apsisi $2$ olan noktadan çizildiği için bu nokta ortaktır. Ordinatı için parabolü kullanabiliriz. $y=x^2 \rightarrow y=2^2=4$. Teğet $(2,4)$ noktasından çizilmektedir.
Türevin $x=2$ noktasındaki değeri, bu noktadan çizilecek teğetin eğimini verir.

\begin{align*}
f'(x_0) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\
f'(2) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\
&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h} \\
&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{4h+h^2}{h} \\
&= \lim_{h\rightarrow 0} 4+h = 4
\end{align*}

Teğetin eğimi $4$ müş. Bir noktası da $(2,4)$ idi. Bir noktası $(x_0,y_0)$ ve eğimi $m$ olan doğru denklemi $y-y_0 = m(x-x_0)$.
\[ y-4=4(x-2) \Rightarrow y = 4x-4 \]


Teğet çizilecek fonksiyon, trigonometrik, üstel, logaritmik, köklü vs. olabilir. Hatta bunların çarpım, bölüm ve toplamlarından oluşan karmaşık bir fonksiyon da olabilir. Tek önemli nokta yukarıda teğet eğimi için tanımlanan limitin varolması.

Örnek


$y=\sqrt{x}$ fonksiyonuna $x=4$ apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?

Çözüm


$x=4$ apsisli noktanın ordinatı $y=\sqrt{x}=\sqrt{4}=2$ dir. $(4,2)$ noktasından çizilecek teğetin eğimi için $x=2$ noktasında türevin değerini bulmalıyız.

\begin{align*}
f'(x_0) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\
f'(2) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\\
&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h} \\
&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+\sqrt{4})} &
\textit{Pay ve Paydayı } \frac{\sqrt{4+h}+\sqrt{4}}{\sqrt{4+h}+\sqrt{4}}
\textit{ ile çarptık} \\
&= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{4}
\end{align*}

Teğetin eğimi $\frac{1}{4}$ ve bir noktası $(4,2)$, denklem:
\[ y-2=\frac{1}{4}(x-4)\rightarrow y = \frac{x}{4}+1\]
Belli bir noktadaki türev değeri için türev tanımını kullandık. Ancak çok kullanacağımız fonksiyonların türevini her zaman bu yolla almayacağız. Bunları bulmak için bazı pratik kurallar çıkarıp limit hesaplamak yerine bunları kullanacağız. Örneğin $y=x^2$ fonksiyonunun türevi $y'(x)=2x$ tir. Bu durumda ilk örnekte $x=2$ için tanımdan bulduğumuz türev değeri gene $y'(2)=4$ tür.

$\sqrt{x}$ fonksiyonunun türevi de $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ tir ve örnekte türev tanımıyla $x=4$ için bulduğumuz türev değeri gene $\frac{1}{4}$ çıkar.


Önce türevin temel kurallarını çıkaralım:

Temel Kurallar



  1. Sabit fonksiyonların türevi $0$ dır.
  2. $n\in \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=x^n$ şeklindeki fonksiyonların türevi $f'(x) = n x^{n-1}$ dir.

  3. Polinom terimlerinde üs çarpan olarak düşer ve bir azalır. Örneğin $y=x^3$ ün türevi $y'=3x^2$ dir. Daha önce söylendiği gibi $y=x^2$ nin türevi de $y'=2x$ olmaktadır.
    Ancak kural üssün reel sayı olmasına izin veriyor. $x^{\frac{1}{3}}$ ün türevi de $\frac{1}{3} x^{\frac{-2}{3}}$ olur.
  4. Sabit bir $c$ çarpanı dışarı çıkabilir.

  5. \[ (cf(x))' = c f'(x)\]
    Bu kurala göre örneğin $f(x)=4x^3$ ün türevini alacaksak $4$ dışarı çıkabilir, sabit sayı dışındaki terimin türevini düşünmeliyiz.
    \[ (4x^3)' = 4 (x^3)' = 4 \cdot 3 x^2 =12x^2 \]
  6. Bir $f^n(x)$ fonksiyonunun türevi $n.f^{n-1}(x).f'(x)$ tir.

  7. Bu önemli kurala göre türev alırken aynen $x^n$ deki gibi $n$ çarpan olarak düşer ve üs bir azalır ancak bir de $f$ in türevi ile çarpmalıyız.
    Örneğin $(2x-1)^3$ ün türevini alırken önce $2x-1$ kapalı ifadesini $x$ gibi düşünüyoruz. Üssü çarpan olarak düşürüp bir azaltıyoruz ve daha sonra $(2x-1)$ in türevi ile çarpıyoruz.
    \[ f(x) = (2x-1)^3 \quad f'(x) = 3(2x-1)^2 .2 \]
    Başka bir örnek $(2x^3-2)^4$ fonksiyonunun türevi $4(2x^3-2)^3 . (6x^2) $
  8. İki fonksiyonun bileşkesi için şu kural geçerlidir:

  9. \[ ( f \circ g (x) )' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
    Önceki kural bu kuralın bir sonucudur.

Örnek


Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.

  1. $(x^2-3x+4)$

  2. $(3x^2-1)^2$

  3. $(x-1)^3$



Çözüm



  1. $(x^2-3x+4)'$

  2. Toplama ve çıkarmada her terimin ayrı ayrı türevleri alınabilir. $x^2$ nin türevi üs düşüp bir azalınca $2x$, $-3x$ in türevi üs düşüp bir azalınca $-3$ ve sabit sayı $4$ ün türevi de $0$ dır.
    $ (x^2-3x+4)' = 2x-3 $
  3. $(3x^2-1)^2$

  4. Önce üs çarpan olarak düşüp bir azalır ve daha sonra için türevi alınır.
    $[(3x^2-1)^2]' = 2(3x^2-1).6x $
  5. $(x-1)^3 $

  6. Bunu ister küp açılımı yaparak ister yukarıdaki gibi üssün türevindeki özellikleri kullanarak yapabiliriz.
    Üssü düşürüp bir azaltırsak ve için türevi ile çarparsak:
    $3(x-1)^2.1 = 3(x-1)^2 $
    Küp açılımı yaparsak ifade $(x^3 -3x^2 + 3x-1)$ her terimin türevini alırsak.
    $3x^2-6x + 3$ ve bu da yukarıda bulduğumuz $3(x-1)^2$ ifadesi ile aynıdır.


Çarpma ve Bölmenin türevi


$f(x)$ ve $g(x)$ gibi iki fonksiyonun çarpım ve bölümlerinin türevi için aşağıdaki kurallar geçerlidir
\begin{align*}
[f(x)\cdot g(x)]' & = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x) \\
[\frac{ f(x)}{g(x)}]' & = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g^2(x)}
\end{align*}

Örnek


Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.

  1. $f(x) = (2x^2-3) \cdot (x^3-2x)$

  2. $f(x) = (x^2+x)^2 \cdot \sqrt{x}$

  3. $f(x) = (x-3) \cdot (x+1)$

  4. $f(x) = \displaystyle\frac{x-2}{x^2+1}$

  5. $f(x) = \displaystyle\frac{x^{\frac{1}{3}}-x}{x}$



Çözüm




  1. Çarpma kuralından anlaşıldığı gibi birincinin türevi ile ikinci fonksiyonu çarpıyoruz ve ikincinin türevi ile birinci fonksiyonu çarpıyoruz.
    \begin{align*}
    f'(x) &= (2x^2-3)' \cdot (x^3-2x) + (x^3-2x)' \cdot (2x^2-3) \\
    &= (4x-3) \cdot (x^3-2x) + (3x^2-2) \cdot (2x^2-3) \\
    &= 10x^4 -3x^3 - 21x^2 + 6x + 6
    \end{align*}


  2. $ 2 \, {\left(2 \, x + 1\right)} {\left(x^{2} + x\right)} \sqrt{x} + \frac{{\left(x^{2} + x\right)}^{2}}{2 \, \sqrt{x}} $


  3. $2 x - 2 $


  4. \[ -\frac{2 \, {\left(x - 2\right)} x}{{\left(x^{2} + 1\right)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} \]


  5. \[ \frac{ (\frac{1}{3} x ^{\frac{-2}{3}} -1) x -(x^{\frac{1}{3}} - x)}{x^{2}} \]

Örnek


$ f(x) = x^2-1 $ ve $ g(x) = (x-1)^2 $ olduğuna göre $ (f \circ g)'(-1) $ değeri nedir?

Çözüm


$ f \circ g(x) = f(g(x)) $ in türevi $[f(g(x)) ]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
\[ (f \circ g )'(-1) = f'(g(-1)) \cdot g'(-1) \]
$ f'(x) = 2x $ ve $ g'(x) = 2(x-1) $ dir. $g(-1) = 4, f'(4) = 8$ ve $ g'(-1) = -4 $ olduğundan
\[ (f \circ g )'(-1) = f'(g(-1)) \cdot g'(-1) = 8 \cdot -4 = -32 \]

Örnek


$f(2x^2-1) = x^3 -8x $ olduğuna göre $ f'(7) $ nedir?

Çözüm


Sol tarafın türevi sadece $f'(2x^2-1)$ değildir bir de için türevi ile çarpacağız:
Burada da aslında bileşke fonksiyon vardır. $f(x)$ ile $ g(x) = (2x^2-1)$ fonksiyonu birleştirildiğinden \[ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

\begin{align*}
[ f(2x^2-1) ]'& = (x^3 -8x)' \\
f'(2x^2 -1) \cdot 4x &= 3x^2 - 8 \\
\end{align*}

$f'(7)$ için $x = 2$ koymalıyız: $ f'(7) \cdot 8 = 12 - 8 = 4$ ve $ f'(7) = \frac{1}{2} $

Türevin diğer gösterimleri


Bir fonksiyonun türevini göstermek için birden fazla notasyon kullanıyoruz. Bunlardan ilki ve buraya kadar kullanılan $f'(x)$ tir. Aynı anlama gelmek üzere $y'$ de yazabiliriz. Bu yazımda türevin de bir fonksiyon olduğu vurgusu vardır. Öte yandan türevi bir noktadan çizilen teğet eğimi ile tanımlamıştık. Eğim de $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ idi. Benzer şekilde türevi göstermek için $\frac{dy}{dx}$ gösterimi de kullanılır.