Toplam Sembolüne Giriş

Toplam ve çarpım sembolleri, aynen üslü sayılardaki gibi, uzun bir yazımı kısaltmak için bulunmuş özel notasyonlardır. Bu semboller seriler, diziler gibi sonsuz terim ve bunların toplamını ilgilendiren konularda kullanılır. Toplam sembolü ve özelliklerine bakalım. \[ \sum_{k=1}^{20} 2k-1 \] Toplam sembolünde bir alt ve bir üst sınır verilir. Alt sınırdan başlayıp bir artırarak içerideki ifade hesaplanır ve araya $+$ konur. Yukarıdaki ifadede içeri önce $1$ sonra $2$ ve en sonunda $20$ koyup çıkan terimleri toplayacağız. \[ \sum_{k=1}^{20} 2k-1 = (2\cdot 1-1)+(2 \cdot 2 - 1)+ \cdots + 2 \cdot 20 -1 = 1+3+\cdots + 39 \] Örneğin $\sum_{k=1}^{12} k^2$ nin ifade ettiği toplamı bulalım: \[ \sum_{k=1}^{12} k^2 = (1^2) + (2^2)+ \cdots + (12^2) \] Başka bir tane: \[ \sum_{k=3}^{14} k+2 = (3+2)+(4+2)+\cdots +(14+2)\] Şimdi de tersini düşünelim. Verili bir toplamı bu sembolle nasıl ifade edebiliriz. Örneğin $1+3+5+\cdots +73$. Tek sayıları üretmek için $2k+1$ ya da $2k-1$ gibi bir şey kullanmamız gerektiğini zaten sayılar konusundan biliyoruz. Alt sınırı $1$ den başlatalım, dolayısıyla ilk sayının $1$ olabilmesi için $2k-1$ i kullanmalıyız. \[ \sum_{k=1} 2k-1 = 1+3+ \cdots \] Üst sınırı nasıl bulacağız? Verilen toplamda en son sayı $73$. İçerdeki ifadenin üretmesi gereken son sayı bu olduğuna göre $73=2k-1$, son $k$ değerinin $37$ olduğu görülür. \[ 1+3+\cdots +73 = \sum_{k=1}^{37} 2k-1 \] Başka bir toplam: $ 3+7+11+\cdots + 59 $. Terimler dörder dörder arttığı için $4k$ gibi bir ifade kullanmalıyız. Örneğin $4k$ da $k=1,2,...$ yazarsak $4,8,12$ gibi dörder dörder artan terimler oluştuğunu görürüz. İlk terim $3$ ikinci terim $7$, dikkat edersek verilen toplamdaki terimler, $4k$ nın ürettiği terimlerden $1$ eksik. Dolayısıyla $1$ çıkarmamız yeterli. $4k-1$ ifadesi $k=1$ için $3$, $k=2$ için $7$ ... terimlerini üretir. Son terim $59$ olduğundan $4k-1=59$ ve üst sınır için $k=15$ çıkar. \[ 3+7+11+\cdots + 59 = \sum_{k=1}^{15} 4k-1 \] Artışın sabit olduğu toplamlarda, artış miktarını $k$ nın çarpanı yaparak bu artışı sağlayabiliyoruz. Sorulan ilk terime göre de bir sayı ekleyip çıkararak gereken kaymayı sağlıyoruz. Aslında alt sınırı $1$ den başlatmamıza da gerek yok. Bu konuda tamamen serbestiz. Örneğin $2+7+12+\cdots + 67$ toplamında alt sınırı $-2$ den başlatalım. Ancak önce artış miktarına bakalım, $5$. Demek ki $5k$ gibi bir ifade kullanmalıyız. Alt sınırı $-2$ istiyoruz. Şu an $k=-2$ için $5k=-10$ oluyor. Bize sorulan toplamda ilk terim $2$, demek ki $12$ eklemeliyiz. $5k+12$, ifadesi $k=-2$ için $2$, $k=-1$ için $7$ ... terimlerini üretir. Üst sınır için gene bulduğumuz ifadeyi en son terime eşitleyeceğiz. $5k+12=67$ ifadesinden $k=11$ çıkar. \[ 2+7+12+\cdots + 67 = \sum_{k=-2}^{11} 5k+12 \] Artış miktarı eşit değilse terimler arasında ortak bir özellik görmeye çalışacağız.

Örnek

Aşağıdaki ifadelerde sağ tarafı tamamlayınız
  1. $-2+1+4+\cdots +25=\displaystyle\sum_{k=0} $
  2. $1-2+3-4+ \cdots +31 = \displaystyle\sum_{k=1}$
  3. $1 + 4 + 9 + \cdots +144 = \displaystyle\sum_{k=1}$
  4. $2+4+6+\cdots +42 = \displaystyle\sum_{k=-1}$
  5. $1^3+2^3+\cdots 17^3 = \displaystyle\sum_{k=2}$
  6. $1+2+2^2+\cdots 2^n = \sum_{k=1}$
  7. $1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots 50\cdot 51$
  8. $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \displaystyle\sum_{k=1}$
  9. $\frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \cdots + \frac{11}{12} = \displaystyle\sum_{k=1}$

Çözüm

  1. Artış düzenli ve artış miktarı $3$, $3k$ gibi bir terim kullanabiliriz. Sağda verilen alt indis $k=0$, ilk konacak değer bu olacak ve bunun ilk terimi üretmesini istiiyoruz, $3k-2$. Son terim $25$ olduğundan en son $k$ değeri $3k-2=25 \Rightarrow k = 9$ olmalıdır. \[ -2+1+4+\cdots +25=\displaystyle\sum_{k=0}^9 3k-2 \]
  2. Artış sabit ve $1$, ancak işaret her terimde değişiyor. Önce işareti düşünmeden sol tarafı üretelim, belli ki sadece $k$ yetiyor. İşaret işini $-1$ çarpanı koyarak çözüyoruz. $(-1)^{k+1} \cdot k$ ifadesinde $(-1)^{k+1} $ çarpanının görevi $k$ nın ardışık değerleri için farklı işaretler üretmektir. Bu çarpanı $(-1)^{k-1}$ de yapabilirdik, önemli olan ilk terim pozitif olduğundan $k=1$ değeri için çift bir üs elde etmek. Son terim zaten son $k$ değeri oluyor: \[1-2+3-4+ \cdots +31 = \sum_{k=1}^{31} (-1)^{k+1} \cdot k \]
  3. Artış sabit değil, terimler arasında ortak bir özellik yakalamaya çalışıyoruz. Bu durumda oldukça basit, çünkü böyle toplamlarla çok karşılaşacağız. İlk terim $1^2$ ikinci terim $2^2$ ve son terim de $12^2$, dolayısıyla $k^2$ yeterli. Alt indis $1$ olduğundan $k^2$ ilk terimi üretiyor. Sağda verilen alt indis $2$ olsaydı toplam sembolünün içine koyacağımız ifadeyi $(k-1)^2$ olarak ayarlamalıydık: \[ 1 + 4 + 9 + \cdots +144 = \sum_{k=1}^{12} k^2 \]
  4. Çift sayılar üretmek için $2k$ gibi bir terim kullanmalıyız, zaten sayılar konusundan da biliyor olmalıyız. Ancak alt indis $k=-1$ verilmiş dolayısıyla ilk terim $2$ yi üretebilmek için $2k+4$ kullanmalıyız. Son terim $42$, üst indis $2k+4 =42 \Rightarrow k=19 $ \[2+4+6+\cdots +42 = \sum_{k=-1}^{19} 2k+4 \]
  5. Çok belli ki $k^3$ kullanmalıyız ancak alt indis $2$ olduğundan $(k-1)^3$ olmalı. Son terim $17$ olduğundan üst indis $18$ olmalı: \[1^3+2^3+\cdots 17^3 = \sum_{k=2}^{18} (k-1)^3 \]

Çarpım Sembolüne Giriş

Benzer şekilde çarpım sembolünde de bir alt ve üst sınır vardır. İçerideki ifade alt sınırdan başlanarak hesaplanır ve bulunan terimler çarpılır. Örneğin \[ \prod_{k=1}^{10} 2k+2 = 4 \cdot 6 \cdots 22 \]

Örnek

Aşağıdaki ifadelerde sağ tarafı tamamlayınız
  1. $1 \cdot 2 \cdots \cdot 100 =\displaystyle\prod_{k=0} $
  2. $4\cdot 8 \cdot 16 \cdot 1024= \displaystyle\prod_{k=-1}$
  3. $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 46 = \displaystyle\prod_{k=2}$
  4. $2! \cdot 3! \cdots 15 != \displaystyle\prod_{k=3}$
  5. $3 \cdot (2\cdot 3^2) \cdot (3 \cdot 3^3 ) \cdots (10\cdot 3^{10})= \displaystyle\prod_{k=-1}$

Çözüm

  1. Artış miktarı sabit ve $1$, dolayısıyla $k$ nın çarpanı $1$. Alt indis $k=0$ ve ilk terim $1$ olduğundan $k+1$ kullanırsak verilen terimler oluşur. Son üretilecek terim $100$ olduğundan üst indis $99$ olmalı: \[ 1 \cdot 2 \cdots 100 = \prod_{k=0}^{99} k+1 \]
  2. Terimler $2$ nin bildiğimiz üsleri, $k$ yı $2$ nin üstüne koymalıyız. Alt indis $k=-1$ ve ilk terim $4$ olduğundan $2^{k+3}$ istenen terimleri üretir. Son üretilecek terim $1024=2^{10}$ dur ve dolayısıyla son $k$ değeri $7$ olmalıdır. \[ 4\cdot 8 \cdots 1024 = \prod_{k=-1}^{7} 2^{k+3} \]
  3. Çift sayılar üretmeliyiz. Yani $2k$. Alt indis $k=2$ olduğundan $2k-2$ ile geriye $2$ br kaymayı sağlıyoruz. Son terim $46$ olduğundan üst indis $2k-2=46$ dan $24$ çıkar. \[ 2\cdot 4\cdots 46 = \prod_{k=2}^{24} 2k-2\]
  4. Terimler gene birer arttığından $k$ nın katsayısı $1$. \[ 2!\cdot 3! \cdots 15! = \prod_{k=3}^{16} (k-1)! \]
  5. Parantez içindeki ilk çarpan ardışık sayılar iken ikinci çarpan $3$ ün birer artan üsleridir. İlk terim sadece $3$ gibi görünüyor ancak ikinci terimi bir geriye alırsak $2^0 \cdot 3^1$ olması gerektiği ve bunun da $3$ olduğu görülür. \[ 3 \cdot (2\cdot 3^2) \cdot (3 \cdot 3^3 ) \cdots (10\cdot 3^{10})= \prod_{k=-1}^{8} (k+2)\cdot 3^{k+2}\]