Parabol ile Doğru

Bir parabol ile doğru üç durumda bulunabilir. Doğru denklemi $y=mx+n$ ve parabol denklemi $y=ax^2+bx+c$ biçimine getirildikten sonra bu denklemler eşitlenerek ortak denklem bulunur.

Örnek

$y=x^2+x-7$ parabolü ve $y=2x+5$ doğrusunun kesişim noktalarını bulunuz.

Çözüm

Denklemleri eşitleyelim. $x^2+x-7=2x+5$ ise $x^2-x-12=0$ çıkar. Bu denklemin kökleri $-3$ ve $4$'tür. Yani apsisi $-3$ ve $4$ olan noktalar ortaktır. Bu noktaların ordinatlarını bulmak için $x$ değerlerini istediğimiz denklemde yerine koymalıyız. İki denklem de aynı $y$ değerini verir. Doğru denkleminde yerine koyarsak \[ y= 2x+5=2(-3)+5=-1 \] Birinci ortak nokta $P_{1}=(-3,-1)$'dir. \[ y= 2x+5=2(4)+5=13 \] İkinci ortak nokta $P_{2}=(4,13)$'tür.

Bir Doğrunun Bir Parabole En Yakın Noktası

Parabolü kesmeyen bir doğrunun parabole en yakın noktasını nasıl bulacağımızı anlamak için aşağıdaki grafiğe bakalım. Şekilde $y=x^2$ parabolü ve $y=x-1$ doğrusu görülmektedir. Parabole bu doğruya en yakın noktasından çizilen teğet, verilen doğruya paraleldir. Teğetin eğimi ile doğrunun eğimi aynıdır. $y=mx+n$ şeklindeki bir doğru denkleminde eğim $m$ idi. $y=x-1$ doğrusunun eğimi $1$'dir. Teğetin de eğimi $1$'dir. Demek ki teğet denklemi $y=x+n$ şeklindedir. Teğet ile parabolün ortak noktasını bulacağımıza göre denklemlerini eşitleyeceğiz. \[y=x^2=x+n\Rightarrow x^2-x-n=0\] Bu denklemin bir kökü olduğunu biliyoruz yani $\Delta=0$. Kökü bulmak için $n$ değerine ihtiyacım yok. Çünkü $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ dır. $\Delta=0$ olduğuna göre tek kök $\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}$'dir. Bu değeri parabol denkleminde yerine yazarsak $y=x^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ çıkar. En yakın nokta $(\frac{1}{2},\frac{1}{4}$)'tür. Yukarıdaki açıklama dışında türev konusunu öğrendiğimizde daha iyi anlayacağımız şu yolu kullanabiliriz: Doğrunun eğimi $m$ ve parabolün denklemi $ax^2+bx+c$ olsun. $2ax+b=m$ denkleminden en yakın noktanın apsisi bulunur. Yukarıdaki örnek için $m=1$'dir. \[2ax+b=2x+0=1\] ve $x=\frac{1}{2}$ çıkar. Ordinat için de bulunan apsis parabol denkleminde yerine yazılır. Bu denklemi parabole apsisi belli olan bir noktadan çizilen teğetin denklemini bulurken de kullanabiliriz.

Bir Parabole Çizilen Teğetin Denklemi

$y=x^2-3x-2$ parabolüne $x=3$'ten çizilen teğetin denklemi nedir? Burada hemen $m=2ax+b$ formülünden teğetin eğimi hesaplanır.\[m=2\cdot 3 + -3 = 3 \] Doğrumuz $x=3$'te parabole değdiğinden bu nokta parabol ve doğru için ortaktır. Bu noktanın ordinatı için parabol denklemini kullanabiliriz. \[ y=x^2-3x-2 = 3^2-3\cdot 3 -2 = -2 \] Doğru $(3,-2)$ noktasından geçmektedir. eğimi de $3$'tür. Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi \[ y-y_1=m(x-x_1) \] Burada $(x_1,y_1)$ doğrunun geçtiği nokta ve $m$ eğimdir. \[ y-(-2)=3(x-3) \rightarrow y=3x-11 \]

Parabol ile Parabol

İki parabolün kesişim noktaları da gene denklemleri eşitlenerek bulunur.

Örnek

$y=x^2-2x+1$ ve $y=x^2+x+7$ parabollerinin kesişim noktalarını bulunuz.

Çözüm

Denklemleri eşitlersek $x^2-2x+1=x^2+x+7$ ve buradan $x=-2$ çıkar. Bulduğumuz bu değeri iki parabolden birinde yerine koyarız. $y=x^2-2x+1 (-2)^2-2(-2)+1=9$. Ortak nokta bir tanedir ve $(-2,9)$'dur.