Logaritma fonksiyonu, taban $1$ den büyükse artan bir fonksiyondur. Yani $f(x) =\log_b x$ fonksiyonunda $x$ arttıkça $y$ de artar. Dolayısıyla \[ \log_b x_1 \lt \log_b x_2 \Rightarrow x_1 \lt x_2 \] * Taban $1$ den küçükse fonksiyon azalan olduğundan eşitsizlik yön değiştirir \[b \lt 1\quad \text{ise } \log_b x_1 \lt \log_b x_2 \Rightarrow x_1 \gt x_1 \]

Örnek

$\log_2 \displaystyle\frac{x+1}{-x-3} \lt 0 $ ifadesinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Sağ tarafı da aynı tabanda yazarsak: \begin{align*} \log_2 \frac{x+1}{-x-3} \lt \log_2 1 \Rightarrow \frac{x+1}{-x-3} & \lt 1\\ \frac{x+1}{-x-3}-1 & \lt 0\\ \frac{2x+4}{-x-3} & \lt 0 \end{align*} Çözüm kümesi $(-\infty,-3)\cup (-2,\infty)$ olur.

Örnek

$ \log_{\frac{1}{2}} (x^2-1) \lt -1 $ ifadesinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

\begin{align*} \log_{\frac{1}{2}} (x^2-1) & \lt -1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x^2-1) & \lt \log_{\frac{1}{2}} 2 \\ x^2-1 & \gt 2\\ x^2 & \gt 3 \end{align*} Son eşitsizliğin çözümü $x \gt \sqrt{3}$ ve $x \lt -\sqrt{3}$ olduğundan çözüm kümesi: \[(-\infty,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},\infty)\] Ancak logaritmanın tanımlı olabilmesi için içerideki ifadenin pozitif olması gerektiğini de unutmayalım: $x^2-1 \gt 0$ olmalıdır. Bu iki eşitsizliğin kesişimi gene yukarıda bulduğumuz aralıklardır.
* Bir tarafta birden çok logaritma varsa, tek bir logaritmaya indirgemek için temel kuralları kullanmak gerekebilir.

Örnek

$ \log_3 x + \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x-2} \lt \log_9 4$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

\begin{align*} \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x-1} &= \log_{3^{-1}} \frac{1}{x-1}\\ &= -\log_3 \frac{1}{x-1} \end{align*} üslerin dışarı çıkışıyla ilgili kurallardan $\log_9 4 = \log_3 2 $ dir. \begin{align*} \log_3 x -\log_3 \frac{1}{x-1} & \lt \log_3 2 \\ \log_3 \frac{x}{\frac{1}{x-1}} & \lt \log_3 2\\ x(x-1) & \lt 2 \\ x^2 -x - 2 & \lt 0 \end{align*} Son ifadenin kökleri $-1$ ve $2$ olduğundan çözüm $(-\infty,-1)\cup (2,\infty)$
* İçiçe logaritmalar da bulunabilir

Örnek

$ \log_2 \log(x^2-6) \gt 0 $ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

\begin{align*} \log_2 \log(x^2-6) & \gt \log_2 1 \\ \log(x^2-6) & \gt 1 \\ \log (x^2-6) & \gt \log 10\\ x^2-6 & \gt 10 \end{align*} $x^2 \gt 16$ ise $x \lt -4$ ve $x \gt 4$ tür.
* Logaritmalar çarpma halindeyse tek bir logaritmaya indirgenemezler.

Örnek

\[ \log(x+1) \cdot \log(x-2) \leq 0 \] eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

$\log(x+1) \cdot \log(x-2) \lt 0$ ifadesinin gerçeklenmesi için bir çarpan negatifken diğeri pozitif olmalı. Taban $1$ den büyük olduğundan $\log$ ların içi $1$ den küçükse cevap negatif ve büyükse pozitiftir.
  • $x+1 \gt 1$ ve $x-2 \lt 1$ ya da
  • $x+1 \lt 1$ ve $x-2 \gt 1$
İlk durumda $x \gt 0$ ve $x \lt 3$ ve kesişim $0 \lt x \lt 3$ olur. İkinci durumda $x \lt 0$ ve $x \gt 3$ olur ve bu sistem bir çözüm vermez. $\log(x+1) \cdot \log(x-2) = 0$ durumunu bilerek ayrı tuttuk. Bu eşitlik için çarpanlardan birinin $0$ olması yeter. \[\log(x+1)=0 \Rightarrow x=0\] Ancak bu değer $\log(x-2)$ yi tanımsız yapar. \[\log(x-2)=0 \Rightarrow x-2=1\] $x=3$ değeri $\log(x+1)$ için sorun oluşturmaz. Bu değeri de bulduğumuz aralığa katarsak çözüm $0 \lt x\leq 3$ gibi görünür. Ancak iki logaritmanın da içlerinin negatif olmamasının sağlanması, yani tanım aralıklarının bulunması sıklıkla unutulur. \[ x+1 \gt 0 \Rightarrow x \gt -1 \quad x-2 \gt 0 \Rightarrow x \gt 2\] Bu bilgileri bulduğumuz aralıkla birleştirirsek çözüm: \[ 2 \lt x\leq 3\]