Tekrarlamak gerekirse, argümanı $\theta$ ve modülü $r$ olan bir karmaşık sayının kutupsal biçimi: \[ z=r\cdot (\cos\theta + i \sin\theta) = r \text{ cis }\theta \]

Kutupsal biçimde işlemler

Çarpma, bölme, üs alma, eşlenik bulma ve bir karmaşık sayının $n.$ dereceden köklerini bulma gibi durumlarda, kutupsal biçim çok kullanışlıdır. $z_1=r_1\text{ cis } \theta_1$ ve $z_2=r_2\text{ cis }\theta_2$ gibi iki karmaşık sayı düşünelim. * Çarpma: İki karmaşık sayı çarpılırken modülleri çarpılır ve açıları toplanır. \[z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2 \text{ cis }(\theta_1+\theta_2)\] * Bölme: İki karmaşık sayı bölünürken modüller bölünür ve açılar çıkarılır. \[\frac{z_1}{ z_2}=\frac{r_1}{r_2} \text{ cis }(\theta_1-\theta_2)\] * Üs Alma: Çarpma kuralının bir uzantısı olarak Bir karmaşık sayının $n.$ üssünü aldığımızda modülün $n.$ üssü alınır ve açı da $n$ ile çarpılır. \[ z^n=r^n\cdot\text{ cis }(n\cdot\theta) \]

Örnek

$z_1=2\text{ cis }(20^{\circ})$ ve $z_2=3\text{ cis }(40^{\circ})$ ise $z_1\cdot z_2$ değeri nedir?

Çözüm

Açılar özel açı olmadığından sayıları $a+ib$ formatına çeviremeyiz. Kutupsal koordinatlarda çarpma yapmak zorundayız. \[ z_1\cdot z_2=r_1 \cdot r_2\text{ cis }(\theta_1+\theta_2) = 2\cdot 3 \text{ cis }(60^{\circ}) \] olmaktadır. çarpma sonucu ortaya çıkan sayının argümanı özel açı olduğundan istenirse $a+ib$ şeklinde yazılabilir: \[ 6\text{ cis }(60^{\circ}) = 6(\cos 60^{\circ}+i\sin60^{\circ}) = 3+3\sqrt{3}i \]

Örnek

Şekilde verilenlere göre $\frac{z_1}{z_2}$ sayısının $a+ib$ şeklinde yazılımı nedir?

Çözüm

Verilenlere göre $z_1 = 2 \text{ cis }50^{\circ}$ ve $z_2= 3 \text{ cis } 200^{\circ}$ dir. \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3} \text{ cis }(50-200)= \frac{2}{3} \text{ cis }(-150)\] $-150^{\circ}$ nin esas ölçüsü $-150+360=210$ dur. Dolayısıyla \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}\text{ cis } (210^{\circ}) \]

Örnek

$z=\sqrt{3}-\sqrt{3}i$ ise $z^{100}$ nedir?

Çözüm

Bu soruyu, verilen sayıyı önce kutupsal biçime çevirerek yapalım. Şekilden görüldüğü gibi argüman $315^{\circ}$ dir. \[ |z|= \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{ 3 + 3 } = \sqrt{6} \] $z=\sqrt{6}\text{ cis }(315^{\circ}) = \sqrt {6} \text{ cis } \frac{7\pi}{4} $ Derece yerine radyanı kullanmak daha yaygındır bu yüzden açının radyan karşılığını yazdık. Şimdi $z^{100}$ ü bulalım: \[ z^{100} = r^{100} \text{ cis } (100\cdot \theta) = (\sqrt{6})^{100} \text{ cis } (100 \cdot \frac{7 \pi}{4}) \] $(\sqrt{6})^{100}=6^{50}$ dir. Son bulduğumuz açı, $360$ tan yani $2\pi$ den büyük olduğundan esas ölçüsünü bulmamız gerekmektedir. \[ \frac{700\pi}{4} \equiv \frac{4 \pi}{4} \equiv \pi \] Esas ölçü bulurken payı paydanın iki katına bölüp kalanı pay olarak yazıyorduk ve payda ise aynı kalıyordu. Bulduğumuz sayı $z^{100} = 6^{50} \text{ cis } \pi $ olmaktadır. İstenirse kolayca $x+iy$ formatına çevrilebilir. $6^{50}\text{ cis } \pi = -6^{50}$ dir.
* Eşlenik Bir karmaşık sayının eşleniği için verilen karmaşık sayının sanal kısmının işaretini değiştiriyorduk. $z=x+iy$ nin eşleniği $\overline{z} = x-iy$ idi. Grafikte de görüldüğü gibi, eğer $\text{ Arg }z=\theta$ ise $\text{ Arg } \overline{z} = 2\pi-\theta \text { ya da } -\theta$ olmaktadır. * $1/z$ Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini $z=x+iy$ formatında incelemiştik. \[ \frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} \] Kesrin payı $z$ nin eşleniği ve paydası da modülün karesidir($|z|=\sqrt{x^2+y^2}$). Dolayısıyla \[ \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|} \] Kutupsal düşünürsek $z=r\cdot \text{ cis } \theta $ şeklinde verilen bir sayı için \[ z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|} = \frac{r \text{ cis }(-\theta)}{r^2} = \frac{1}{r}\text{ cis }(-\theta) \] olmaktadır. Aynı sonuca bir başka açıdan da ulaşalım. $\frac{1}{z}$ ifadesinde pay ve paydayı ayrı iki karmaşık sayı olarak düşünüp kutupsal biçimlerini yazalım. $1=\text{ cis }(0^{\circ})$ dir ve $z=r\text{ cis }\theta$ dır. \[ \frac{1}{z}=\frac{\text{ cis } 0^{\circ}}{r\text{ cis } \theta}\] Kutupsal verilen iki karmaşık sayıyı bölerken kullandığımız kuralı uygularsak \[ \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \text{ cis }(-\theta) \]

Bir karmaşık sayının pozitif yönde döndürülmesi

Bir $z$ karmaşık sayısı verilsin ve verilen sayıyı pozitif yönde $\alpha$ kadar döndürmemiz istensin. $z$ nin pozitif yönde yaptığı açı $\theta$ olsun. Yani $z$ yi kutupsal yazdığımızı farzedelim. \[ z=r\text{ cis }\theta \] $\alpha$ kadar döndürdüğümüzde artık pozitif yönde $\theta + \alpha$ açısını yapacaktır ve boyu ($r$) değişmeyecektir. Yani döndürdüğümüzde elde edeceğimiz sayı \[ w=r\text{ cis }(\theta + \alpha) \] Burada sadece $\text{ cis }(\theta + \alpha)$ ifadesini düşünelim. Kutupsal biçimde çarpma yaparken açılar toplanıyordu. Öyleyse bu ifadeyi boyları bir olan şu iki karmaşık sayının çarpımı olarak düşünebiliriz: $\text{ cis } \theta$ ve $\text{ cis } \alpha$. Yani çarpmada açılar toplanır kuralından şu özdeşlik çıkmaktadır: \[ \text{ cis }(\theta+\alpha)= \text{ cis } \theta \cdot \text{ cis } \alpha \] Öyleyse döndürünce elde ettiğimiz $w$: \[ w = r \text{ cis }(\theta + \alpha) = r \text{ cis } \theta \text{ cis } \alpha = z \text{ cis } \alpha \] Yani bir karmaşık sayıyı pozitif yönde $\alpha$ kadar döndürürken onu kutupsal biçime çevirmek gerekmez. Direk $\text{ cis } \alpha$ ile çarpmak döndürdüğümüzde elde edeceğimiz sayıyı $a+ib$ formatında verir.

Örnek

$z=3 \text{ cis } 45^{\circ}$ sayısını pozitif yönde $30^{\circ}$ döndürünüz.

Çözüm

$z=3\text{ cis } 45^{\circ}$ sayısını pozitif yönde $30^{\circ}$ derece döndürdüğümüzde elde edeceğimiz sayı $3 \text{ cis } 75^{\circ}$ dir. Eğer sonuç kutupsal soruluyorsa zaten bulduk, ancak $a+ib$ formatında isteniyorsa $75^{\circ}$ nin trigonometrik oranlarını bilmediğimizden, başa dönüp verilen sayıyı $\text{ cis } 30^{\circ}$ ile çarpmalıyız: \[ z \cdot \text{ cis } 30^{\circ} = (3+3i) (\cos 30^{\circ} + i \sin 30^{\circ}) \] $30^{\circ}$ nin trigonometrik değerlerini yazarsak döndürülmüş sayı \[ z'=\frac{3\sqrt{3}-3}{2} + \frac{3\sqrt{3}+3}{2} i \]

Örnek

$2-2i$ sayısını negatif yönde $45$ derece döndürünce elde edilen sayının karesi nedir?

Çözüm

Negatif yönde $45^{\circ}$ döndürmek pozitif yönde $315^{\circ}$ döndürmektir. Verilen sayıyı $\text{ cis } 315^{\circ}$ ile çarpabiliriz. Ancak bu soruda bunu yapmak gereksizdir. Çünkü verilen sayı hemen kutupsal biçimde yazılabilmekte ve negatif yönde $45^{\circ}$ döndürüldüğünde elde edilen sayı da buradan kolayca çıkmaktadır. Sayı çok açıktır ki $315^{\circ}$ açı yapmakta ve $2\sqrt{2}$ uzunluğundadır. $45^{\circ}$ negatif yönde döndürürsek $270^{\circ}$ açı yapar ve imajiner eksen üzerinde olur. Boyu değişmeyeceğinden döndürülmüş hali $2\sqrt{2}i$ dir.