Bir karmaşık sayının köklerini hem kutupsal biçimde hem de $a+ib$ biçiminde iken öğreneceğiz. Önce kutupsal biçimle başlayalım.

Kutupsal Biçimde Kökler

\[ z=r \text{ cis } \theta \] şeklinde verilen bir karmaşık sayının $n.$ dereceden kökleri $n$ tanedir ($w_0, w_1 \cdots w_{n-1}$ olsunlar) ve aşağıdaki formülle bulunurlar: \[ w_k = \sqrt[n]{r} \text{ cis } (\frac{ \theta + 2k\pi}{n}) \qquad k = 0,1,2 \cdots n-1 \] Formül karışık görünse de aşağıdaki çözümlü örneklerde aslında kökleri bulmanın basitliği görülecektir. Formülü sözel anlatırsak bir karmaşık sayının $n.$ dereceden köklerini($n$ tanedirler) bulmak için modülün $n.$ dereceden kökü alınır. İlk kökün argümanı için verilen karmaşık sayının argümanı, kök derecesi $n$ e bölünür. Bundan sonraki köklerin argümanları için de $\frac{2\pi}{n}$ ekleriz. Örneğin:

Örnek

$ z = 4\text{ cis }30^{\circ} $ sayısının karekökleri nelerdir?

Çözüm

Kökler iki tanedir: $w_0$ ve $w_1$. Köklerin modülleri için $z$ nin modülünün karekökü alınır ve ilk kökün argümanı da $z$ nin argümanı $2$ ye bölünerek bulunur (kök derecesi $2$). Yani ilk kök \[ w_0 = 2 \text{ cis }15^{\circ} \] Bundan sonraki kök için $360^{\circ}$ kök derecesine bölünür: $360:2=180$ ve bu değer ilk kökün argümanına eklenir. \[ w_1= 2 \text{ cis }195^{\circ} \] * Karekökler birbirinden $\pi$ ya da $180^{\circ}$ uzaklıktadır.

Örnek

$ z = 8 \text{ cis }60^{\circ} $ sayısının küpkökleri nelerdir?

Çözüm

Kökler üç tanedir: $w_0, w_1,$ ve $w_2$. İlk kök için $z$ nin modülünün küpkökü alınır. İlk kökün argümanı için de $z$ nin argümanı kök derecesine bölünür. \[ w_0 = 2 \text{ cis }20^{\circ} \] Bundan sonraki kökler için $360$ kök derecesine bölünür, $360:3=120$. Bulunan değer ilk kökün argümanına eklenerek ikinci kök, buna da eklenerek üçüncü kök bulunur. \[ w_1 = 2 \text{ cis }(20+120)^{\circ} = 2 \text{ cis }(140)^{\circ} \] \[ w_2 = 2 \text{ cis }(140+120)^{\circ} = 2 \text{ cis }(260)^{\circ} \] * Küpkökler birbirinden $\frac{2\pi}{3}$ ya da $120^{\circ}$ uzaklıktadır.

Kutupsal biçimde kökler formülü ispatı

İspatı karekök ve küp kök için yapacağız. Bir $z=r \text{ cis }\theta$ karmaşık sayısı verilmiş olsun. Bu sayının varsa kareköküne $w=r_w \text{ cis } \alpha$ diyelim. Bu sayı $z$ nin karekökü olduğundan karesi $z$ ye eşit olmalıdır: \begin{align*} w^2 &= z \\ (r_w \text{ cis } \alpha)^2 &= r \text{ cis } \theta \\ r_w^2 \text{ cis } (2 \alpha) &= r \text{ cis } \theta \\ r_w^2 = r & \text{ ve } \text{ cis } 2\alpha = \text{ cis } \theta\\ \end{align*} $(r_w \text{ cis } \alpha)^2=r_w^2 \text{ cis } (2 \alpha) $ yazarken kutupsal biçimde üs almada yazdığımız kuralı kullandık. Son eşitliklerden birincisinden $r_w= \pm \sqrt{r}$ çıkar ancak modül her zaman pozitif olduğundan $r_w= \sqrt{r}$ dır. İkinci eşitlik trigonometrik bir denklem ve $\text{ cis }$ kosinüs ve sinüs değerlerini içerdiğinden bu iki açının $\cos$ ve $\sin$ değerleri aynı olmalıdır. Bu durumda ya iki açı aynıdır ya da biri diğerine $360^{\circ}$ ekleyip çıkarılarak bulunabilir (esas ölçülerinin aynı olması yeterlidir). \begin{align*} 2 \alpha &= \theta + 2k\pi \\ \alpha &= \frac{ \theta + 2k\pi}{2} \\ \end{align*} Burada $k=0$ ve $k=1$ iki ayrı açı üretir. \[ w_0 = \sqrt{r} \text{ cis } \frac{\theta}{2} \qquad w_1= \sqrt{r} \text{ cis } \frac{\theta+2\pi}{2} \] $k=2$ koymak anlamsızdır bu durumda açı $\theta + 2\pi$ olacağından bulacağımız sayı $w_0$ a eşit olur, dolayısıyla iki farklı kök vardır. Benzer şekilde $z$ nin küpkökleri için de elimizde şu eşitlik vardır: \begin{align*} w^3 &= z \\ (r_w \text{ cis } \alpha)^3 &= r \text{ cis } \theta \\ r_w^3 \text{ cis } (3 \alpha) &= r \text{ cis } \theta \\ r_w^3 = r & \text{ ve }\text{ cis } 3\alpha = \text{ cis } \theta\\ \end{align*} Buradan $r_w= \sqrt[3]{r}$ ve şu trigonometrik denklem çıkar: \begin{align*} 3 \alpha &= \theta + 2k\pi \\ \alpha &= \frac{ \theta + 2k\pi}{3} \\ \end{align*} $k=0,1$ ve $2$ farklı sayılar üretir bundan sonraki değerler gene aynı sayılara döner. \[ w_0 = \sqrt[3]{r} \text{ cis } \frac{\theta}{3} \qquad w_1= \sqrt[3]{r} \text{ cis } \frac{\theta+2\pi}{3} \qquad w_2= \sqrt[3]{r} \text{ cis } \frac{\theta+4\pi}{3} \]

Kartezyen Biçimde Karekök Bulunuşu

$z=a+ib$ şeklinde verilen bir sayının karekökleri için aşağıda çıkarılan üç eşitlik kullanılabilir: Verilen karmaşık sayının karekökü $w = x+iy$ olsun, bu durumda \begin{align*} w^2 &= z\\ (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2-y^2 + 2xyi &= a+ib \end{align*} Buradan iki eşitlik çıkmaktadır: \begin{align*} x^2-y^2 &= a \\ 2xy &= b \end{align*} Bunların yanında üçüncü eşitliği bulmak için modülden gelen aşağıdaki eşitliği kullanacağız: \begin{align*} |w^2| &= |z|\\ |w|^2 &= |z| \\ x^2 + y^2 &= \sqrt{a^2 + b^2}\\ \end{align*} Toparlarsak kullanacağımız üç eşitlik: \begin{align*} x^2-y^2 &= a \\ 2xy &= b \\ x^2 + y^2 &= |z|\\ \end{align*}

Örnek

$z=5-12i$ sayısının kareköklerini bulunuz.

Çözüm

Üç eşitliği yazarsak: \begin{align*} x^2-y^2 &= a & x^2-y^2 &= 5 \\ 2xy &= b & 2xy &= -12 \\ x^2 + y^2 &= |z| & x^2+y^2 &= 13 \end{align*} Birinci ve üçüncü denklemleri alt alta toplarsak $x^2 = 9$ ve $x=\pm 3$ olur. Birinci veya üçüncü denklemden $x^2=9$ ise $y^2=4$ ve $y=\pm 2$ çıkar. $x=3$ için $y=-2$ ve $x=-3$ için de $y=2$ olması gerektiği de ikinci denklemden çıkmaktadır. Çözüm $(3,-2)$ ve $(-3,2)$ ikilileridir ya da \[ w_0 = 3-2i \qquad w_1= -3+2i\] olur.

Örnek

$z=3 + 4i$ sayısının kareköklerini bulunuz.

Çözüm

Üç eşitliği yazarsak: \begin{align*} x^2-y^2 &= a & x^2-y^2 &= 3 \\ 2xy &= b & 2xy &= 4 \\ x^2 + y^2 &= |z| & x^2+y^2 &= 5 \end{align*} Birinci ve üçüncü denklemleri alt alta toplarsak $x^2 = 4$ ve $x=\pm 2$ olur. Birinci veya üçüncü denklemden $x^2=4$ ise $y^2=1$ ve $y=\pm 1$ çıkar. $x=2$ için $y=1$ ve $x=-2$ için de $y=-1$ olması gerektiği de ikinci denklemden çıkmaktadır. Çözüm $(2,1)$ ve $(-2,-1)$ ikilileridir ya da \[ w_0 = 2+i \qquad w_1= -2-i\] olur. Bu örnekte sağlamasını da yapalım. Bulduğumuz sayıların kareleri $3+4i$ ye eşit olmalıdır: \[ (2+i)^2 = 4 + 4i -1=3+4i \] $-2-i = -(2+i)$ olduğundan karesi $2+i$ ile aynıdır.