Temel Kurallar

Binom iki terimli demektir ve $(x+y)^n$ şeklinde bir iki terimlinin $n.$ üssünü açtığımızda neler olduğu ile ilgilidir. Binom açılımına bildiğimiz iki binom açılımının özelliklerini inceleyerek başlayalım. Tam kare açılımı ve küp açılımı, çarpanlara ayırma konusundan bilmemiz gereken açılımlar: \[ (x+y)^2= x^2 + 2xy + y^2 \qquad (x+y)^3= x^3 + 3x^2y+ 3xy^2 + y^3 \] İlk dikkat edeceğimiz özellik üs $2$ iken binom açıldığında terim sayısı üç oldu. Üs $3$'ken yani kübün açılımında da terim sayısı dört oldu. Beklenebileceği gibi üs $n$ iken terim sayısı $n+1$'dir. Yani \[ (x+y)^n \] açıldığında $n+1$ terim çıkar. İkinci önemli nokta, karenin açılımında bütün terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı $2$ ve kübün açılımında da $3$'tür. Karenin açılımında ilk terim $x^2$, ikinci terim $2xy=2x^1y^1$ ve son terim de $y^2$'dir ve üsler toplamı hep $2$'dir. Küp açılımında ilk terim $x^3$, ikinci terim katsayıyı önemsemezsek $x^2y$, ve diğer iki terimde de üsler toplamı $3$'tür. Hem karede hem de küpte, ilk ve son terimde bir tane değişken görünse de, ikinci değişken de ordaymış gibi düşünebiliriz. Örneğin karedeki ilk terimi $x^2$ yerine $x^2 y^0$ gibi küpteki son terim olan $y^3$'ü de $x^0 y^3$ gibi düşünebiliriz. Bunu, aşağıdaki iki sonucun her yerde geçerli olabilmesi için yapıyoruz: İkinci maddedeki sonucu küpte inceleyelim, birinci değişken $x$'in üssü $3$'ten başlıyor ve birer birer azalıyor ve $y$'nin ki de birer birer artıyor. Katsayıları düşünmezsek terimler şöyle \[ x^3y^0 \qquad x^2 y^1 \qquad x^1 y^2 \qquad x^0 y^3 \] Buraya kadar vurguladığımız sonuçlarla $(x+y)^6$'nın açılımı için şunları yazabiliriz. \[ (x+y)^7 = x^7 + x^6 y + x^5 y^2 + x^4 y^3 + x^3 y^4 + x^2 y ^5 + xy^6 + y ^7 \] Önemli iki noktamız kaldı. Birincisi terimlerin başındaki katsayıların bulunuşu ve ikincisi de, bu uzun açılımı yapmadan istediğimiz bir terimi yazmanın yolları. Önce ikinci noktadan başlayalım. Örneğin yukarda $7.$ dereceden açılım yaptık. Bu açılımı yapmadan $5.$ terimi yazabilir miydik ? Bunun için $y$'nin üssünü kullanacağız, birinci terimde $y$'nin üssü $0$, ikinci terimde $1$, beşinci terimde $4$, demek ki kaçıncı terimde isek $y$'nin üssü bu sayının $1$ düşüğü. Örneğin $(x+y)^{11}$ açılımında $7. $ terimi yazmaya çalışalım. $7.$ terim istendiği için $y$'nin üssü $6$'dır. İki değişkenin üsleri toplamı her terimde $11$ olmalıydı. Demek ki terim $x^5y^6$ şeklindedir. Geriye katsayıların nasıl bulunacağı kaldı. Katsayılar için kombinasyon formülü kullanacağız. Önce formülü hatırlayalım. $n$'nin $r$'li kombinasyonu \[ \binom {n}{r} = \frac {n!}{r!(n-r)!} \] $ (x+y)^n$ açılımında $a+b=n$ olmak üzere (üsler toplamı hep $n$) $x^ay^b$ şeklindeki bir terimin katsayısı $\displaystyle\binom {n}{a} \text{ ya da } \displaystyle\binom {n}{b}$'dir. Kaçıncı üssü açıyorsak onu kombinasyonda üste koyuyoruz ve değişkenlerden birinin üssünü de (istediğimizi seçebiliriz) alta koyuyoruz. Terim $x^5y^6$ şeklinde olduğundan, yukarıda $(x+y)^{11}$ açılımında $7.$ terimin katsayısı, \[ \binom {11} {6} = \frac {11!}{6! (11-6)! } = \frac {11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8\cdot 7 }{5!} = 462\]

Örnek

$(x+3y)^8$ açılımında 5. terim nedir ?

Çözüm

5. terim sorulduğundan ikinci değişkenin üssünün $4$ olduğunu anlıyoruz. Dikkat edelim burada ikinci değişkeni katsayısı ile birlikte almalıyız. \[ x^? \cdot (3y)^4 \] $8.$ üssü açtığımızdan üsler toplamı $8$ olmalıdır dolayısıyla \[ x^4 \cdot (3y)^4 \] Kombinasyon formülünden katsayı \[ \binom{8}{4}= 70 \] Dolayısıyla terim \[ 70 x^4 (3y)^4 = 5670 \cdot x^4 \cdot y^4 \] Bu terimin katsayısı sadece kombinasyondan gelen $70$ değildir. $3^4$'te katsayıdır ve bu iki sayı çarpılınca katsayı $5670$'tir.

Örnek

$(x^2 + 2y)^7 $ açılımında $x^6$'lı terimin katsayısı kaçtır ?

Çözüm

$x^6$ olabilmesi için $x^2$'nin $3.$ üssü alınmış olmalıdır. \[ (x^2)^3 \cdot (2y) ^? \] Üsler toplamı $7$ olmalıdır dolayısıyla $(2y)$'nin üssü $4$ olmalıdır. \[ (x^2)^3 \cdot (2y) ^4 \] Katsayı kombinasyondan \[ \binom {7} {4} = 35 \] Dolayısıyla terim \[ 35\cdot x^6 \cdot 2^4 \cdot y^4 = 560 \cdot x^6 \cdot y^4 \]
$(x+y)^5$'e kadar kombinasyon yerine paskal üçgenini de kullanabiliriz. Kare açılımında terimlerin katsayıları \[ 1 \qquad 2 \qquad 1 \] Küpün açılımında terimlerin katsayıları \[ 1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1 \] Bunlar Paskal üçgeninin ikinci ve üçüncü satırlarıdır. Paskal üçgeni, kenarları $1$ olan ve içerideki elemanları da üstteki iki elemanın toplamı olan aşağıdaki üçgendir. paskal üçgeni

Geriye sadece aradaki işaret $-$ olduğunda ne yapacağımız kaldı.

\[ (x-y)^n \] şeklindeki bir ifadenin açılımında tek terimler $+$, çift terimler $-$'dir. Gene bildiğimiz bir açılımı hatırlayalım \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] Birinci terim pozitif, ikinci terim negatif ve üçüncü terim pozitif. İşareti de kapsayan bir örnek daha çözelim.

Örnek

$(x-2y^2)^{11}$ açılımında $6.$ terim nedir?

Çözüm

Önce iki tarafı da yazalım \[ (x) \cdot (2y^2) \] $6.$ terim dendiği için sağ tarafın üssü $5$ \[ (x) \cdot (2y^2)^5 \] Üsler toplamı $11$ dolayısıyla sol tarafın üssü $6$ \[ (x)^6 \cdot (2y^2)^5 \] Kombinasyondan gelecek katsayı $\binom {11}{5}$. Aradaki işaret $-$ ve $6.$ terimde olduğumuzdan terimimiz negatif. Dolayısıyla terim \[ -\binom {11}{5} (x)^6 \cdot (2y^2)^5 = -\binom {11}{5} \cdot 2^5 \cdot x^6 \cdot y^{10} \]

Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim

Polinomlar konusunda ayrıntılı olarak anlatıldığı gibi katsayılar toplamı için bütün değişkenler yerine $1$ konur ve sabit terim için de $0$ konur.

Örnek

$(x-2y^2)^{19}$ açılımında katsayılar toplamı nedir?

Çözüm

$(1-2\cdot 1^2)^{19} = -1 $

Örnek

$(2x-4y^4 - 2)^{12}$ açılımında sabit terim nedir?

Çözüm

$(-2)^{12}= 2^{12}$ olur.
Sabit terim sorulduğunda $0$ koyamayacağımız özel bir soru tipi sık sık sorulmaktadır. Aşağıdaki binom açılımını düşünelim \[ ( x + \frac{2}{x} )^{12} \] açılımında sabit terim için $x$ yerine $0$ koyamayız çünkü $\frac{2}{x}$ kesri tanımsız olmaktadır. Sabit terim, içinde değişken olmayan terimdir, örneğimizde $x$'i olmayan terimdir. Her terimde iki tarafın da olduğunu biliyoruz, yani her terim şu şekildedir \[ (x)^a \cdot (\frac{2}{x} )^b \] ve $a+b$ toplamı her terimde $12$'dir. $a$ ve $b$'yi öyle seçmeliyiz ki hem toplam $12$ olsun hem de $x$'ler sadeleşerek götürsün ve geriye $x$'siz bir terim kalsın. $a=6$ ve $b=6$ bu örnekte açıkça görülmektedir. Üslere $6$ verip kombinasyonda gelecek katsayıyı da yazarsak: \[ \binom{12}{6}(x)^6 \cdot (\frac{2}{x} )^6 = \binom{12}{6} x^6 \cdot \frac{2^6}{x^6} = \binom{12}{6} 2^6 \] olur ve sabit terim $\binom{12}{6} 2^6$'dır. Daha zor bir örnek düşünelim

Örnek

\[ (x^2 - \frac {2}{x^3})^{10} \] açılımında sabit terim nedir?

Çözüm

Gene iki tarafı da yazarak başlayalım \[ (x^2)^a \cdot ( \frac {2}{x^3})^b \] $a+b$ toplamı $10$ olmalı ve $x$'ler sadeleşmeli. $a=6$ seçtiğimizde $(x^2)^6 = x^{12} $ olmaktadır. $a=6$ olduğunda üsler toplamı $10$ olacağından $b=4$ zaten zorunludur ve bu değer için kesrin paydasında gene $x^ {12}$ çıkar. \[ \binom{10}{4}(x^2)^6 \cdot ( \frac {2}{x^3})^4 = \binom{10}{4} x^{12} \frac{2^4}{x^{12}} = \binom{10}{4} 2^4 \] Aradaki işaret $-$ olduğundan kaçıncı terimde olduğumuzu kontrol etmeliyiz. Sağ tarafın üssü $4$, dolayısıyla beşinci terimdeyiz ve tek terimler pozitif olduğundan sabit terim \[ \binom{10}{4} 2^4\]